1.50 将一长为1的铁丝截成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形与圆形面积之和最小，则围成正方形的铁丝长为（）A. (frac(pi)/(pi+4))(4)B. (4)/(pi+4)C. (4)/(4)D. (4)/(pi)

考查要点：本题主要考查利用导数求函数极值的应用，涉及几何图形的周长与面积关系，以及优化问题的建模与求解。

解题核心思路：

1. 建立目标函数：设围成正方形的铁丝长度为$x$，则圆形铁丝长度为$1-x$，分别表示两图形的面积，求和得到总面积$S(x)$。
2. 求导找极值：对$S(x)$求导，令导数为零，解方程得到临界点。
3. 验证极值性质：通过二阶导数判断临界点是否为极小值点。

破题关键点：

• 正确表达面积公式：正方形面积与边长的关系，圆面积与周长的关系。
• 导数计算的准确性：注意符号处理，避免求导错误。
• 方程求解的代数变形：将导数为零的方程转化为关于$x$的线性方程。

设围成正方形的铁丝长为$x$，则围成圆形的铁丝长为$1 - x$。

1. 正方形面积：
   正方形边长为$\frac{x}{4}$，面积为$\left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16}$。

2. 圆形面积：
   圆的周长为$1 - x$，半径$r = \frac{1 - x}{2\pi}$，面积为$\pi r^2 = \pi \left(\frac{1 - x}{2\pi}\right)^2 = \frac{(1 - x)^2}{4\pi}$。

3. 总面积函数：
   $S(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(1 - x)^2}{4\pi}$

4. 求导并找临界点：
   对$S(x)$求导：
   $S'(x) = \frac{x}{8} - \frac{1 - x}{2\pi}$
   令$S'(x) = 0$，解得：
   $\frac{x}{8} = \frac{1 - x}{2\pi} \implies x = \frac{4}{\pi + 4}$

5. 验证极小值：
   二阶导数为：
   $S''(x) = \frac{1}{8} + \frac{1}{2\pi} > 0$
   因此，$x = \frac{4}{\pi + 4}$是极小值点。