题目
两个车床加工同一种鞋,已知甲车床出现不合格品的概率是0.02,乙车床出现不合格品的概率是0.04,加工出来的鞋子放在一起,并且已知甲车床加工的鞋子数量是乙车床的两倍,任取一双鞋子,若取出的鞋子不合格,试求它是有乙车床加工的概率是().A. 0.5B. 0.44C. 0.67D. 0.04
两个车床加工同一种鞋,已知甲车床出现不合格品的概率是$0.02$,乙车床出现不合格品的概率是$0.04$,加工出来的鞋子放在一起,并且已知甲车床加工的鞋子数量是乙车床的两倍,任取一双鞋子,若取出的鞋子不合格,试求它是有乙车床加工的概率是().
A. 0.5
B. 0.44
C. 0.67
D. 0.04
题目解答
答案
A. 0.5
解析
步骤 1：定义事件
设 $A_1$ 为甲车床加工，$A_2$ 为乙车床加工，$B$ 为不合格品。
步骤 2：确定概率
已知：$P(A_1) = \frac{2}{3}$，$P(A_2) = \frac{1}{3}$，$P(B|A_1) = 0.02$，$P(B|A_2) = 0.04$。
步骤 3：应用全概率公式
由全概率公式得：\[ P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) = \frac{2}{3} \times 0.02 + \frac{1}{3} \times 0.04 = \frac{0.08}{3} \]。
步骤 4：应用贝叶斯定理
由贝叶斯定理求乙车床加工的不合格品概率：\[ P(A_2|B) = \frac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{3} \times 0.04}{\frac{0.08}{3}} = 0.5 \]。
设 $A_1$ 为甲车床加工，$A_2$ 为乙车床加工，$B$ 为不合格品。
步骤 2：确定概率
已知：$P(A_1) = \frac{2}{3}$，$P(A_2) = \frac{1}{3}$，$P(B|A_1) = 0.02$，$P(B|A_2) = 0.04$。
步骤 3：应用全概率公式
由全概率公式得：\[ P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) = \frac{2}{3} \times 0.02 + \frac{1}{3} \times 0.04 = \frac{0.08}{3} \]。
步骤 4：应用贝叶斯定理
由贝叶斯定理求乙车床加工的不合格品概率：\[ P(A_2|B) = \frac{P(A_2)P(B|A_2)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{3} \times 0.04}{\frac{0.08}{3}} = 0.5 \]。