题目
矩阵A经过初等行变换变为矩阵B,则下列结论错误的是A. B的列向量组线性无关,则A的列向量组线性无关B. B的列向量组线性相关,则A的列向量组线性相关C. B的行向量组线性无关,则A的行向量组线性相关D. B的行向量组线性相关,则A的行向量组线性相关
矩阵A经过初等行变换变为矩阵B,则下列结论错误的是
A. B的列向量组线性无关,则A的列向量组线性无关
B. B的列向量组线性相关,则A的列向量组线性相关
C. B的行向量组线性无关,则A的行向量组线性相关
D. B的行向量组线性相关,则A的行向量组线性相关
题目解答
答案
C. B的行向量组线性无关,则A的行向量组线性相关
解析
步骤 1:理解初等行变换对矩阵的影响
初等行变换包括交换两行、某行乘以非零常数、某行加上另一行的倍数。这些变换不会改变矩阵的行空间,但可能改变列空间。具体来说,初等行变换保持了行向量的线性相关性,但可能改变列向量的线性相关性。
步骤 2:分析选项 A 和 B
A. B的列向量组线性无关,则A的列向量组线性无关。
- 这个结论是正确的,因为初等行变换不会增加或减少列向量组的秩。如果B的列向量组线性无关,那么A的列向量组也线性无关。
B. B的列向量组线性相关,则A的列向量组线性相关。
- 这个结论也是正确的,因为初等行变换不会改变列向量组的秩。如果B的列向量组线性相关,那么A的列向量组也线性相关。
步骤 3:分析选项 C 和 D
C. B的行向量组线性无关,则A的行向量组线性相关。
- 这个结论是错误的,因为初等行变换保持了行向量的线性相关性。如果B的行向量组线性无关,那么A的行向量组也线性无关。
D. B的行向量组线性相关,则A的行向量组线性相关。
- 这个结论是正确的,因为初等行变换保持了行向量的线性相关性。如果B的行向量组线性相关,那么A的行向量组也线性相关。
初等行变换包括交换两行、某行乘以非零常数、某行加上另一行的倍数。这些变换不会改变矩阵的行空间,但可能改变列空间。具体来说,初等行变换保持了行向量的线性相关性,但可能改变列向量的线性相关性。
步骤 2:分析选项 A 和 B
A. B的列向量组线性无关,则A的列向量组线性无关。
- 这个结论是正确的,因为初等行变换不会增加或减少列向量组的秩。如果B的列向量组线性无关,那么A的列向量组也线性无关。
B. B的列向量组线性相关,则A的列向量组线性相关。
- 这个结论也是正确的,因为初等行变换不会改变列向量组的秩。如果B的列向量组线性相关,那么A的列向量组也线性相关。
步骤 3:分析选项 C 和 D
C. B的行向量组线性无关,则A的行向量组线性相关。
- 这个结论是错误的,因为初等行变换保持了行向量的线性相关性。如果B的行向量组线性无关,那么A的行向量组也线性无关。
D. B的行向量组线性相关,则A的行向量组线性相关。
- 这个结论是正确的,因为初等行变换保持了行向量的线性相关性。如果B的行向量组线性相关,那么A的行向量组也线性相关。