求心形线r=1-cos theta 在theta =dfrac (pi )(2)处的切线方程.

考查要点：本题主要考查极坐标方程下曲线切线方程的求解方法，涉及极坐标与直角坐标的转换、参数方程的导数计算以及切线方程的建立。

解题核心思路：

1. 确定切点坐标：将θ代入极坐标方程，计算对应的直角坐标(x, y)。
2. 求导数dy/dx：通过参数方程法，分别对θ求导dx/dθ和dy/dθ，再利用链式法则求得斜率dy/dx。
3. 建立切线方程：利用点斜式方程，结合切点坐标和斜率写出切线方程。

破题关键点：

• 正确转换极坐标到直角坐标，注意θ=π/2时的三角函数值。
• 准确计算导数，特别是乘积法则的应用。
• 代数运算的准确性，避免符号错误。

1. 确定切点坐标

当θ = π/2时：

• 极径r：
  $r = 1 - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 - 0 = 1$
• 直角坐标(x, y)：
  $x = r \cos\theta = 1 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$
  $y = r \sin\theta = 1 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$
  切点为(0, 1)。

2. 求导数dy/dx

将x和y表示为θ的函数：
$x = (1 - \cos\theta)\cos\theta$
$y = (1 - \cos\theta)\sin\theta$

计算dx/dθ：
$\frac{dx}{d\theta} = \sin\theta \cdot \cos\theta + (1 - \cos\theta)(-\sin\theta)$
$= \sin\theta \cos\theta - \sin\theta + \sin\theta \cos\theta$
$= 2\sin\theta \cos\theta - \sin\theta$
代入θ = π/2：
$\frac{dx}{d\theta} = 2 \cdot 1 \cdot 0 - 1 = -1$

计算dy/dθ：
$\frac{dy}{d\theta} = \sin\theta \cdot \sin\theta + (1 - \cos\theta)\cos\theta$
$= \sin^2\theta + \cos\theta - \cos^2\theta$
代入θ = π/2：
$\frac{dy}{d\theta} = 1^2 + 0 - 0 = 1$

求斜率dy/dx：
$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{d\theta}}{\frac{dx}{d\theta}} = \frac{1}{-1} = -1$

3. 建立切线方程

用点斜式方程：
$y - 1 = -1(x - 0)$
整理得：
$x + y - 1 = 0$