题目

7/17 单选题(分值2.0分，难度：易)f(x)=x^2-2ln x的最小值为（）A.1B.eC.1/eD.2

7/17 单选题(分值2.0分，难度：易) $f(x)=x^{2}-2\ln x$的最小值为（） A.1 B.e C.1/e D.2

题目解答

答案

求函数 $ f(x) = x^2 - 2 \ln x $ 的最小值。

  1. 求导数：
    $ f'(x) = 2x - \frac{2}{x} $
  2. 令导数为零：
    $ 2x - \frac{2}{x} = 0 \Rightarrow x = 1 $（$ x > 0 $）
  3. 二阶导数测试：
    $ f''(x) = 2 + \frac{2}{x^2} > 0 $，故 $ x = 1 $ 为极小值点。
  4. 计算极值：
    $ f(1) = 1^2 - 2 \ln 1 = 1 $

答案： $\boxed{A}$

解析

本题考查利用导数求函数的最值。解题思路如下：

  1. 首先，确定函数的定义域。对于函数$f(x)=x^{2}-2\ln x$，由于对数函数$\ln x$中$x\gt0$，所以函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$。
  2. 然后，对函数$f(x)$求一阶导数$f^\prime(x)$。根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得：
    • $f^\prime(x)=(x^{2}-2\ln x)^\prime=(x^{2})^\prime-(2\ln x)^\prime$。
    • 因为$(x^{2})^\prime = 2x$，$(2\ln x)^\prime=2\times\frac{1}{x}=\frac{2}{x}$，所以$f^\prime(x)=2x-\frac{2}{x}$。
  3. 接着，令$f^\prime(x)=0$，求出函数的驻点。即$2x-\frac{2}{x}=0$，方程两边同时乘以$x$（因为$x\gt0$）得到$2x^{2}-2 = 0$，化简为$x^{2}=1$，解得$x = 1$或$x=-1$，又因为$x\in(0,+\infty)$，所以舍去$x = - 1$，得到驻点$x = 1$。
  4. 再对$f^\prime(x)$求导，得到二阶导数$f^{\prime\prime}(x)$。$f^{\prime\prime}(x)=(2x-\frac{2}{x})^\prime=(2x)^\prime-(\frac{2}{x})^\prime$。
    • 因为$(2x)^\prime = 2$，$(\frac{2}{x})^\prime=2\times(-1)\times x^{-2}=-\frac{2}{x^{2}}$，所以$f^{\prime\prime}(x)=2+\frac{2}{x^{2}}$。
    • 当$x\in(0,+\infty)$时，$x^{2}\gt0$，则$\frac{2}{x^{2}}\gt0$，所以$f^{\prime\prime}(x)=2+\frac{2}{x^{2}}\gt0$，这表明函数$f(x)$在$x = 1$处取得极小值。
  5. 最后，由于函数$f(x)$在定义域$(0,+\infty)$内只有一个驻点$x = 1$，且在该点取得极小值，所以这个极小值就是函数的最小值。将$x = 1$代入函数$f(x)$中，可得$f(1)=1^{2}-2\ln1$。
    • 因为$\ln1 = 0$，所以$f(1)=1-0 = 1$。