题目
解不等式：x＞(1)/(x)．
解不等式：x＞$\frac{1}{x}$．
题目解答
答案
解：不等式x＞$\frac{1}{x}$可化为x-$\frac{1}{x}$＞0，
即$\frac{{x}^{2}-1}{x}$＞0；
它等价于$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1＞0}\\{x＞0}\end{array}\right.$①，
或$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1＜0}\\{x＜0}\end{array}\right.$②；
解①得x＞1，
解②得-1＜x＜0；
所以原不等式的解集是{x|-1＜x＜0或x＞1}．
即$\frac{{x}^{2}-1}{x}$＞0；
它等价于$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1＞0}\\{x＞0}\end{array}\right.$①，
或$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1＜0}\\{x＜0}\end{array}\right.$②；
解①得x＞1，
解②得-1＜x＜0；
所以原不等式的解集是{x|-1＜x＜0或x＞1}．
解析
考查要点：本题主要考查分式不等式的解法，涉及分式不等式的转化、符号分析及解集的合并。
解题核心思路：
- 移项通分：将不等式转化为分式形式，便于分析符号；
- 分情况讨论：根据分式分子和分母同号的原则，分两种情况解不等式组；
- 数轴验证：通过临界点划分区间，判断各区间内分式的符号，确定最终解集。
破题关键点：
- 正确通分：将原不等式转化为$\frac{x^2 - 1}{x} > 0$；
- 分组讨论：分子分母同号的两种可能性；
- 排除无效解：注意分母不能为零，且严格满足不等式符号。
步骤1：移项通分
原不等式$x > \frac{1}{x}$移项得：
$x - \frac{1}{x} > 0$
通分后为：
$\frac{x^2 - 1}{x} > 0$
步骤2：分情况讨论符号
分式$\frac{x^2 - 1}{x} > 0$成立的条件是分子和分母同号，分两种情况：
- 分子$>0$且分母$>0$：
$\begin{cases} x^2 - 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \text{或} x < -1 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 1$ - 分子$<0$且分母$<0$：
$\begin{cases} x^2 - 1 < 0 \\ x < 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -1 < x < 1 \\ x < 0 \end{cases} \Rightarrow -1 < x < 0$
步骤3：合并解集
综合两种情况，解集为：
$-1 < x < 0 \quad \text{或} \quad x > 1$