[题目]设 _(1)=iint Ddfrac (x+y)(4)dxdy, _(2)=iint Dsqrt (dfrac {x+y)(4)}dxdy _(3)=-|||-Ⅱsqrt [3](dfrac {x+y)(4)}dxdy, 且 = (x,y)|{(x-1))^2+((y-1))^2leqslant 2} , 则有-|||-()-|||-A. _(1)lt (I)_(2)lt (I)_(3)-|||-B. _(2)lt (I)_(3)lt (I)_(1)-|||-C. _(3)lt (I)_(1)lt (I)_(2)-|||-D. _(3)lt (I)_(2)lt (I)_(1)

考查要点：本题主要考查二重积分的比较，涉及幂函数在不同区间上的单调性应用，以及几何区域的分析。

解题核心思路：

1. 确定被积函数的取值范围：通过分析积分区域$D$的几何特征，找到被积函数$\dfrac{x+y}{4}$的取值范围。
2. 比较幂函数的大小关系：当底数在$(0,1)$之间时，指数越小，幂函数的值越大。
3. 积分结果的传递性：若被积函数在积分区域上满足$f(x,y) < g(x,y) < h(x,y)$，则对应的积分也满足$I_1 < I_2 < I_3$。

破题关键点：

• 区域分析：确定区域$D$中$x+y$的取值范围，进而得到$\dfrac{x+y}{4} \in (0,1)$。
• 幂函数性质：利用幂函数在$(0,1)$区间上的单调性，比较不同被积函数的大小。

步骤1：分析积分区域$D$的几何特征

区域$D$是以$(1,1)$为圆心，$\sqrt{2}$为半径的圆。通过参数方程或几何分析可知，圆上任意一点$(x,y)$满足：
$x+y \in [0,4].$
因此，被积函数$\dfrac{x+y}{4}$的取值范围为：
$0 \leq \dfrac{x+y}{4} \leq 1.$

步骤2：比较被积函数的大小关系

在区间$(0,1)$内，对于$a = \dfrac{x+y}{4}$，有：
$a^1 < a^{1/2} < a^{1/3}.$
即：
$\dfrac{x+y}{4} < \sqrt{\dfrac{x+y}{4}} < \sqrt[3]{\dfrac{x+y}{4}}.$

步骤3：积分结果的比较

由于被积函数在$D$上满足：
$\dfrac{x+y}{4} < \sqrt{\dfrac{x+y}{4}} < \sqrt[3]{\dfrac{x+y}{4}},$
且至少在部分区域严格不等，因此积分结果满足：
$I_1 < I_2 < I_3.$