题目

判定二次型 f(x_1, x_2, x_3) = 3x_1^2 + 3x_2^2 + x_3^2 + 4x_1x_2 是否正定？

判定二次型 $f(x_1, x_2, x_3) = 3x_1^2 + 3x_2^2 + x_3^2 + 4x_1x_2$ 是否正定？

题目解答

答案

将二次型 $ f(x_1, x_2, x_3) = 3x_1^2 + 3x_2^2 + x_3^2 + 4x_1x_2 $ 表示为矩阵形式，得
$A = \begin{pmatrix}3 & 2 & 0 \\2 & 3 & 0 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$
判断矩阵 $ A $ 的正定性，可使用顺序主子式法。

  1. 第一顺序主子式：$ A_{11} = 3 > 0 $
  2. 第二顺序主子式：$ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = 9 - 4 = 5 > 0 $
  3. 第三顺序主子式：$ \det(A) = 1 \times 5 = 5 > 0 $

所有顺序主子式均为正，故矩阵 $ A $ 正定，二次型 $ f $ 正定。

答案： 正定