题目

判断矩阵 }2&2&31&-1&0-1&2&1 是否可逆.若可逆，求其逆矩阵.

判断矩阵 $\begin{pmatrix}2&2&3\\1&-1&0\\-1&2&1\end{pmatrix}$ 是否可逆.若可逆，求其逆矩阵.

题目解答

答案

计算矩阵 $ A = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} $ 的行列式： \[ |A| = 2 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = -1 \neq 0 \] 矩阵可逆。求伴随矩阵 $ A^* $： \[ A^* = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 3 \\ -1 & 5 & 3 \\ 1 & -6 & -4 \end{pmatrix} \] 逆矩阵为： \[ A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* = -1 \cdot \begin{pmatrix} -1 & 4 & 3 \\ -1 & 5 & 3 \\ 1 & -6 & -4 \end{pmatrix} = \boxed{\begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 \\ 1 & -5 & -3 \\ -1 & 6 & 4 \end{pmatrix}} \]

解析

矩阵可逆的条件是其行列式不为零。因此，首先需要计算给定矩阵的行列式。若行列式非零，则矩阵可逆，进一步通过伴随矩阵法求逆矩阵。伴随矩阵的求解需计算每个元素的代数余子式并转置。

计算行列式

矩阵 $A$ 的行列式为：
$|A| = 2 \cdot (-1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) - 2 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) + 3 \cdot (1 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1)) = -1 \neq 0$
因此，矩阵可逆。

求伴随矩阵 $A^*$

  1. 计算代数余子式：

    • $C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix}-1 & 0 \\ 2 & 1\end{vmatrix} = -1$
    • $C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot \begin{vmatrix}1 & 0 \\ -1 & 1\end{vmatrix} = -1$
    • $C_{13} = (-1)^{1+3} \cdot \begin{vmatrix}1 & -1 \\ -1 & 2\end{vmatrix} = 1$
    • $C_{21} = (-1)^{2+1} \cdot \begin{vmatrix}2 & 3 \\ 2 & 1\end{vmatrix} = 4$
    • $C_{22} = (-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix}2 & 3 \\ -1 & 1\end{vmatrix} = 5$
    • $C_{23} = (-1)^{2+3} \cdot \begin{vmatrix}2 & 2 \\ -1 & 2\end{vmatrix} = -6$
    • $C_{31} = (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix}2 & 3 \\ -1 & 0\end{vmatrix} = 3$
    • $C_{32} = (-1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix}2 & 3 \\ 1 & 0\end{vmatrix} = 3$
    • $C_{33} = (-1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix}2 & 2 \\ 1 & -1\end{vmatrix} = -4$

  2. 构造代数余子式矩阵并转置：
    $A^* = \begin{pmatrix}-1 & 4 & 3 \\-1 & 5 & 3 \\1 & -6 & -4\end{pmatrix}$

求逆矩阵

$A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* = -1 \cdot \begin{pmatrix}-1 & 4 & 3 \\-1 & 5 & 3 \\1 & -6 & -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -4 & -3 \\1 & -5 & -3 \\-1 & 6 & 4\end{pmatrix}$