设 A 为 n 阶可逆矩阵, xi 是 A 的属于特征值 lambda 的特征向量, 则在下列结论中不正确的是______.A. xi 必是矩阵 (A+E)^2 的特征向量B. xi 必是矩阵 -3A 的特征向量C. xi 必是矩阵 A^* 的特征向量D. xi 必是矩阵 A^T 的特征向量

本题考查矩阵特征值与特征向量的性质，解题思路是根据已知条件$A\xi = \lambda\xi$，分别对每个选项中的矩阵进行分析，判断$\xi$是否为其特征向量。

选项A

已知$A\xi = \lambda\xi$，要判断$\xi$是否为$(A + E)^2$的特征向量，需计算$(A + E)^2\xi$：

• 先将$(A + E)^2$展开，根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$可得$(A + E)^2 = A^2 + 2A + E$。
• 则$(A + E)^2\xi=(A^2 + 2A + E)\xi$，根据矩阵乘法分配律可得$(A^2 + 2A + E)\xi=A^2\xi + 2A\xi + E\xi$。
• 因为$A\xi = \lambda\xi$，所以$A^2\xi = A(A\xi)=A(\lambda\xi)=\lambda A\xi=\lambda^2\xi$，$E\xi=\xi$。
• 那么$A^2\xi + 2A\xi + E\xi=\lambda^2\xi + 2\lambda\xi + \xi = (\lambda^2 + 2\lambda + 1)\xi = (\lambda + 1)^2\xi$。
• 即存在实数$(\lambda + 1)^2$，使得$(A + E)^2\xi = (\lambda + 1)^2\xi$，所以$\xi$是矩阵$(A + E)^2$的特征向量。

选项B

计算$-3A\xi$：

• 因为$A\xi = \lambda\xi$，所以$-3A\xi = -3\lambda\xi$。
• 即存在实数$-3\lambda$，使得$-3A\xi = -3\lambda\xi$，所以$\xi$是矩阵$-3A$的特征向量。

选项C

因为$A$可逆，则$\vert A\vert\neq 0$，且$A^* = \vert A\vert A^{-1}$，计算$A^*\xi$：

• $A^*\xi = \vert A\vert A^{-1}\xi$，由$A\xi = \lambda\xi$两边同时左乘$A^{-1}$可得$A^{-1}A\xi = A^{-1}\lambda\xi$，即$\xi = \lambda A^{-1}\xi$，那么$A^{-1}\xi = \frac{1}{\lambda}\xi$。
• 所以$A^*\xi = \vert A\vert A^{-1}\xi = \vert A\vert\frac{1}{\lambda}\xi = \frac{\vert A\vert}{\lambda}\xi$。
• 即存在实数$\frac{\vert A\vert}{\lambda}$，使得$A^*\xi = \frac{\vert A\vert}{\lambda}\xi$，所以$\xi$是矩阵$A^*$的特征向量。

选项D

仅由$A\xi = \lambda\xi$不能推出$A^T\xi$也等于某个实数乘以$\xi$。

• 一般情况下，矩阵$A$和它的转置矩阵$A^T$的特征向量不一定相同，所以不能得出$\xi$必是矩阵$A^T$的特征向量。