[题目]已知x,y为正实数,则 dfrac (4x)(x+3y)+dfrac (3y)(x) 的最小值-|||-为 ()-|||-A. dfrac (5)(3)-|||-B. dfrac (10)(3)-|||-C. dfrac (3)(2)-|||-D.3

考查要点：本题主要考查分式表达式的最值问题，涉及代数变形与不等式应用（如均值不等式）。
解题核心思路：通过变量替换将原式转化为关于单一变量的表达式，再利用均值不等式求最小值。
破题关键点：

1. 引入中间变量$t = \dfrac{3y}{x}$，简化表达式；
2. 拆分表达式，构造适合应用均值不等式的形式；
3. 验证等号成立条件，确保最小值可达。

步骤1：变量替换
设$t = \dfrac{3y}{x}$（$t > 0$），则原式可变形为：
$\frac{4x}{x + 3y} + \frac{3y}{x} = \frac{4}{1 + t} + t.$

步骤2：拆分表达式
将$\frac{4}{1 + t} + t$改写为$\frac{4}{1 + t} + (1 + t) - 1$，以便应用均值不等式。

步骤3：应用均值不等式
对$\frac{4}{1 + t}$和$(1 + t)$使用均值不等式：
$\frac{4}{1 + t} + (1 + t) \geq 2\sqrt{\frac{4}{1 + t} \cdot (1 + t)} = 4.$
因此，原式$\geq 4 - 1 = 3$。

步骤4：验证等号条件
当且仅当$\frac{4}{1 + t} = 1 + t$时取等号，解得$(1 + t)^2 = 4$，即$t = 1$。
此时$t = \dfrac{3y}{x} = 1$，故$x = 3y$。代入原式验证：
$\frac{4x}{x + 3y} + \frac{3y}{x} = \frac{4 \cdot 3y}{3y + 3y} + \frac{3y}{3y} = 2 + 1 = 3.$
最小值可达，故最小值为$3$。