题目

12.(填空题，6.0分)设n阶方阵A的各行元素之和为零，且r(A)=n-1，则齐次线性方程组AX=0的通解为_____.

12.(填空题，6.0分) 设n阶方阵A的各行元素之和为零，且r(A)=n-1，则齐次线性方程组AX=0的通解为_____.

题目解答

答案

由题意，$n$ 阶方阵 $A$ 的各行元素之和为零，即向量 $\mathbf{v} = (1, 1, \ldots, 1)^T$ 满足 $A\mathbf{v} = \mathbf{0}$，故 $\mathbf{v}$ 是方程组 $AX = 0$ 的解。 又因为 $r(A) = n-1$，解空间维数为 $n - (n-1) = 1$，即基础解系含一个向量。 因此，通解为 $X = k\mathbf{v} = k(1, 1, \ldots, 1)^T$，其中 $k$ 为任意常数。 答案：$\boxed{k(1, 1, \ldots, 1)^T}$

解析

考查要点：本题主要考查齐次线性方程组解的结构，涉及矩阵的秩与解空间维数的关系，以及基础解系的确定。

解题核心思路：

  1. 利用行和为零的条件：矩阵各行元素之和为零，说明全1向量$\mathbf{v}=(1,1,\ldots,1)^T$是方程组$AX=0$的解。
  2. 秩与解空间维数的关系：由$r(A)=n-1$，解空间维数为$n - r(A) = 1$，即基础解系仅含一个向量。
  3. 通解形式：基础解系向量乘以任意常数$k$。

破题关键点：

  • 识别特殊解：通过行和为零直接得出$\mathbf{v}$是解。
  • 确定解空间维度：秩的条件直接决定基础解系的个数。

  1. 分析矩阵的特殊解
    由于矩阵$A$的各行元素之和为零，将向量$\mathbf{v}=(1,1,\ldots,1)^T$代入方程组$AX=0$，可得：
    $A\mathbf{v} = \begin{pmatrix} \text{第1行与$\mathbf{v}$的点积} \\ \text{第2行与$\mathbf{v}$的点积} \\ \vdots \\ \text{第n行与$\mathbf{v}$的点积} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} = \mathbf{0}.$
    因此，$\mathbf{v}$是方程组的一个非零解。

  2. 确定解空间的维度
    已知$r(A)=n-1$，根据解空间维数公式：
    $\text{解空间维数} = n - r(A) = n - (n-1) = 1.$
    说明基础解系仅含一个向量，即$\mathbf{v}$本身。

  3. 写出通解形式
    通解为基础解系向量的线性组合，即：
    $X = k \mathbf{v} = k(1, 1, \ldots, 1)^T \quad (k \in \mathbb{R}).$