空间曲线 {x=4 cos t y=sin t z=t. 在点 (0,1,(pi)/(2)) 处的法平面方程为 A 4x-z+(pi)/(2)=0 B 4y-z+(pi)/(2)=0 C 4x-z-(pi)/(2)=0 D 4y-z-(pi)/(2)=0

为了找到空间曲线$\left\{\begin{matrix}x=4\cos t\\y=\sin t\\z=t\end{matrix}\right.$在点$(0,1,\frac{\pi}{2})$处的法平面方程，我们需要遵循以下步骤： 1. **找到对应于点$(0,1,\frac{\pi}{2})$的参数 $t$ 的值：** 从方程 $z = t$，我们看到 $t = \frac{\pi}{2}$。 将 $t = \frac{\pi}{2}$ 代入 $x$ 和 $y$ 的方程中： \[ x = 4\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 \cdot 0 = 0 \] \[ y = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \] 点 $(0,1,\frac{\pi}{2})$ 确实位于曲线上。 2. **找到曲线在 $t = \frac{\pi}{2}$ 处的切向量：** 切向量 $\mathbf{r}'(t)$ 是位置向量 $\mathbf{r}(t) = \langle 4\cos t, \sin t, t \rangle$ 关于 $t$ 的导数： \[ \mathbf{r}'(t) = \left\langle \frac{d}{dt}(4\cos t), \frac{d}{dt}(\sin t), \frac{d}{dt}(t) \right\rangle = \langle -4\sin t, \cos t, 1 \rangle \] 在 $t = \frac{\pi}{2}$ 处评估切向量： \[ \mathbf{r}'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \left\langle -4\sin\left(\frac{\pi}{2}\right), \cos\left(\frac{\pi}{2}\right), 1 \right\rangle = \langle -4, 0, 1 \rangle \] 3. **找到法平面的方程：** 法平面在点 $\mathbf{r}(t_0)$ 处与切向量 $\mathbf{r}'(t_0)$ 垂直。法平面的法向量是 $\mathbf{r}'\left(\frac{\pi}{2}\right) = \langle -4, 0, 1 \rangle$。 点法式平面方程由下式给出： \[ \mathbf{n} \cdot (\mathbf{r} - \mathbf{r_0}) = 0 \] 其中 $\mathbf{n}$ 是法向量，$\mathbf{r_0}$ 是平面上的一点，$\mathbf{r} = \langle x, y, z \rangle$。 代入 $\mathbf{n} = \langle -4, 0, 1 \rangle$ 和 $\mathbf{r_0} = \langle 0, 1, \frac{\pi}{2} \rangle$： \[ \langle -4, 0, 1 \rangle \cdot \left\langle x - 0, y - 1, z - \frac{\pi}{2} \right\rangle = 0 \] \[ -4(x - 0) + 0(y - 1) + 1\left(z - \frac{\pi}{2}\right) = 0 \] \[ -4x + z - \frac{\pi}{2} = 0 \] \[ 4x - z + \frac{\pi}{2} = 0 \] 因此，法平面的方程是 $\boxed{4x - z + \frac{\pi}{2} = 0}$。 正确选项是 $\boxed{A}$。