题目
24. int dfrac (dx)(sqrt [3]{{(x+1))^2((x-1))^4}}
题目解答
答案
解析
步骤 1：代换
令 $t = \dfrac{x-1}{x+1}$，则有 $dt = \dfrac{2dx}{(x+1)^2}$。
步骤 2：代入
将 $t$ 代入原积分，得到 $\int \dfrac{dx}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-1)^4}} = \int \dfrac{dx}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x+1)^4t^4}} = \int \dfrac{dx}{\sqrt[3]{(x+1)^6t^4}}$。
步骤 3：简化
由于 $dt = \dfrac{2dx}{(x+1)^2}$，则 $dx = \dfrac{(x+1)^2}{2}dt$，代入上式，得到 $\int \dfrac{(x+1)^2}{2\sqrt[3]{(x+1)^6t^4}}dt = \int \dfrac{1}{2\sqrt[3]{t^4}}dt = \dfrac{1}{2}\int t^{-\frac{4}{3}}dt$。
步骤 4：积分
对 $t^{-\frac{4}{3}}$ 积分，得到 $\dfrac{1}{2}\int t^{-\frac{4}{3}}dt = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{t^{-\frac{4}{3}+1}}{-\frac{4}{3}+1} + C = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{t^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} + C = -\dfrac{3}{2}t^{-\frac{1}{3}} + C$。
步骤 5：回代
将 $t = \dfrac{x-1}{x+1}$ 回代，得到 $-\dfrac{3}{2}t^{-\frac{1}{3}} + C = -\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{\dfrac{x+1}{x-1}} + C$。
令 $t = \dfrac{x-1}{x+1}$，则有 $dt = \dfrac{2dx}{(x+1)^2}$。
步骤 2：代入
将 $t$ 代入原积分，得到 $\int \dfrac{dx}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-1)^4}} = \int \dfrac{dx}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x+1)^4t^4}} = \int \dfrac{dx}{\sqrt[3]{(x+1)^6t^4}}$。
步骤 3：简化
由于 $dt = \dfrac{2dx}{(x+1)^2}$，则 $dx = \dfrac{(x+1)^2}{2}dt$，代入上式，得到 $\int \dfrac{(x+1)^2}{2\sqrt[3]{(x+1)^6t^4}}dt = \int \dfrac{1}{2\sqrt[3]{t^4}}dt = \dfrac{1}{2}\int t^{-\frac{4}{3}}dt$。
步骤 4：积分
对 $t^{-\frac{4}{3}}$ 积分，得到 $\dfrac{1}{2}\int t^{-\frac{4}{3}}dt = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{t^{-\frac{4}{3}+1}}{-\frac{4}{3}+1} + C = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{t^{-\frac{1}{3}}}{-\frac{1}{3}} + C = -\dfrac{3}{2}t^{-\frac{1}{3}} + C$。
步骤 5：回代
将 $t = \dfrac{x-1}{x+1}$ 回代，得到 $-\dfrac{3}{2}t^{-\frac{1}{3}} + C = -\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{\dfrac{x+1}{x-1}} + C$。