3. 用一平底锅烧开水，锅底已有厚度为 3mm 的水垢，其热导率 λ 为 1W/(m ·)℃ 。已知与水相接触的水垢层表面温度为 111 ℃。通过锅底的热流密度 q 为 42400W/m2，试求金属锅底的最高温度。

考查要点：本题主要考查单层平壁稳态导热过程的计算，需要掌握导热基本公式及其应用。

解题核心思路：

1. 明确传热方向：热量从金属锅底通过水垢层传递到水，水垢层为单层导热结构。
2. 建立温度差关系：金属锅底的最高温度与水垢内表面温度的差由导热公式确定。
3. 公式变形求解：利用热流密度公式 $q = \frac{\lambda \Delta T}{\delta}$ 变形，求出温度差 $\Delta T$，进而得到金属锅底温度。

破题关键点：

• 单位统一：水垢厚度 $\delta = 3\ \text{mm} = 0.003\ \text{m}$。
• 正确代入公式：注意公式中 $\Delta T = t_1 - t_2$，其中 $t_1$ 是金属锅底温度，$t_2 = 111\ \text{℃}$ 是水垢内表面温度。

步骤1：写出导热公式
根据单层平壁导热公式：
$q = \frac{\lambda \Delta T}{\delta}$
其中 $\Delta T = t_1 - t_2$，$t_2 = 111\ \text{℃}$。

步骤2：变形公式求 $\Delta T$
将公式变形为：
$\Delta T = \frac{q \delta}{\lambda}$

步骤3：代入已知数据
已知 $q = 42400\ \text{W/m}^2$，$\delta = 0.003\ \text{m}$，$\lambda = 1\ \text{W/(m·℃)}$，代入得：
$\Delta T = \frac{42400 \times 0.003}{1} = 127.2\ \text{℃}$

步骤4：计算金属锅底温度
由 $\Delta T = t_1 - 111\ \text{℃}$，得：
$t_1 = 111 + 127.2 = 238.2\ \text{℃}$