题目
7.(1)设随机变量X的概率密度为-|||-f(x)= e^(-x), x ○ 0, x ○ -|||-0,-|||-0.-|||-求(i) =2x, (i)Y=(e)^-2x 的数学期望.-|||-(2)设随机变量X1,X 2,···,xn相互独立,且都服从(0,1)上的均匀分布.-|||-(i)求 =max {x)_(1),(x)_(2),... ,(X)_(n)} 的数学期望,(ii)求 =min {X)_(1),(X)_(2),... ,(X)_(n)} 的-|||-数学期望.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求Y=2X的数学期望
根据随机变量函数的数学期望公式，$E(Y) = E(2X) = 2E(X)$。其中，$E(X)$是随机变量X的数学期望，可以通过积分求得。
步骤 2：计算E(X)
$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_{0}^{\infty} x e^{-x} dx$。利用分部积分法，设$u = x$，$dv = e^{-x} dx$，则$du = dx$，$v = -e^{-x}$。因此，$E(X) = -x e^{-x} |_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = 0 + (-e^{-x}) |_{0}^{\infty} = 1$。
步骤 3：求Y=e^{-2X}的数学期望
根据随机变量函数的数学期望公式，$E(Y) = E(e^{-2X}) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2x} f(x) dx = \int_{0}^{\infty} e^{-2x} e^{-x} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-3x} dx$。利用积分公式，$E(Y) = -\frac{1}{3} e^{-3x} |_{0}^{\infty} = \frac{1}{3}$。
步骤 4：求U=max{X1,X2,...,Xn}的数学期望
首先，求出U的分布函数。因为X1,X2,...,Xn相互独立，且都服从(0,1)上的均匀分布，所以U的分布函数为$F_U(u) = u^n$，$0 \leq u \leq 1$。U的概率密度为$f_U(u) = nu^{n-1}$，$0 \leq u \leq 1$。因此，$E(U) = \int_{0}^{1} u f_U(u) du = \int_{0}^{1} u nu^{n-1} du = n \int_{0}^{1} u^n du = \frac{n}{n+1}$。
步骤 5：求V=min{X1,X2,...,Xn}的数学期望
首先，求出V的分布函数。因为X1,X2,...,Xn相互独立，且都服从(0,1)上的均匀分布，所以V的分布函数为$F_V(v) = 1 - (1-v)^n$，$0 \leq v \leq 1$。V的概率密度为$f_V(v) = n(1-v)^{n-1}$，$0 \leq v \leq 1$。因此，$E(V) = \int_{0}^{1} v f_V(v) dv = \int_{0}^{1} v n(1-v)^{n-1} dv = -v(1-v)^n |_{0}^{1} + \int_{0}^{1} (1-v)^n dv = \frac{1}{n+1}$。
根据随机变量函数的数学期望公式，$E(Y) = E(2X) = 2E(X)$。其中，$E(X)$是随机变量X的数学期望，可以通过积分求得。
步骤 2：计算E(X)
$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_{0}^{\infty} x e^{-x} dx$。利用分部积分法，设$u = x$，$dv = e^{-x} dx$，则$du = dx$，$v = -e^{-x}$。因此，$E(X) = -x e^{-x} |_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = 0 + (-e^{-x}) |_{0}^{\infty} = 1$。
步骤 3：求Y=e^{-2X}的数学期望
根据随机变量函数的数学期望公式，$E(Y) = E(e^{-2X}) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-2x} f(x) dx = \int_{0}^{\infty} e^{-2x} e^{-x} dx = \int_{0}^{\infty} e^{-3x} dx$。利用积分公式，$E(Y) = -\frac{1}{3} e^{-3x} |_{0}^{\infty} = \frac{1}{3}$。
步骤 4：求U=max{X1,X2,...,Xn}的数学期望
首先，求出U的分布函数。因为X1,X2,...,Xn相互独立，且都服从(0,1)上的均匀分布，所以U的分布函数为$F_U(u) = u^n$，$0 \leq u \leq 1$。U的概率密度为$f_U(u) = nu^{n-1}$，$0 \leq u \leq 1$。因此，$E(U) = \int_{0}^{1} u f_U(u) du = \int_{0}^{1} u nu^{n-1} du = n \int_{0}^{1} u^n du = \frac{n}{n+1}$。
步骤 5：求V=min{X1,X2,...,Xn}的数学期望
首先，求出V的分布函数。因为X1,X2,...,Xn相互独立，且都服从(0,1)上的均匀分布，所以V的分布函数为$F_V(v) = 1 - (1-v)^n$，$0 \leq v \leq 1$。V的概率密度为$f_V(v) = n(1-v)^{n-1}$，$0 \leq v \leq 1$。因此，$E(V) = \int_{0}^{1} v f_V(v) dv = \int_{0}^{1} v n(1-v)^{n-1} dv = -v(1-v)^n |_{0}^{1} + \int_{0}^{1} (1-v)^n dv = \frac{1}{n+1}$。