50.（2.0分） 设A是n阶矩阵，P是n阶可逆矩阵，n维列向量α是矩阵A的属于特征值λ的特征向量，则下列矩阵中，α肯定是其特征向量的矩阵共有（）. （1）A² （2）P⁻¹AP （3）Aᵀ （4）E-(1)/(2)AA. 1个；B. 3个；C. 4个.D. 2个；

考查要点：本题主要考查矩阵特征向量的性质，涉及相似矩阵、矩阵多项式、转置矩阵以及线性组合矩阵的特征向量关系。

解题核心思路：

1. 矩阵多项式：若$\alpha$是$A$的特征向量，则$\alpha$也是$A^k$（如$A^2$）的特征向量，特征值为$\lambda^k$。
2. 相似矩阵：相似矩阵的特征值相同，但特征向量一般不同，除非向量满足特定条件。
3. 转置矩阵：原矩阵与转置矩阵的特征值相同，但特征向量不一定相同。
4. 矩阵线性组合：若$\alpha$是$A$的特征向量，则$\alpha$也是$E + cA$（$c$为常数）的特征向量，特征值为$1 + c\lambda$。

破题关键点：

• 直接验证每个选项是否满足$M\alpha = \mu\alpha$，其中$M$为选项中的矩阵，$\mu$为标量。

（1）$A^2$

由$A\alpha = \lambda\alpha$，得：
$A^2\alpha = A(A\alpha) = A(\lambda\alpha) = \lambda A\alpha = \lambda^2\alpha.$
因此，$\alpha$是$A^2$的特征向量，对应特征值$\lambda^2$。成立。

（2）$P^{-1}AP$

若$\alpha$是$P^{-1}AP$的特征向量，则需满足：
$P^{-1}AP\alpha = \mu\alpha.$
两边左乘$P$得：
$A\alpha = \mu P\alpha.$
已知$A\alpha = \lambda\alpha$，因此需$\lambda\alpha = \mu P\alpha$。
除非$P\alpha$是$A$的特征向量且$\mu = \lambda$，否则无法保证成立。题目未给出$P$与$\alpha$的关系，故不一定成立。

（3）$A^T$

$A^T$的特征值与$A$相同，但特征向量不同（除非$A$是对称矩阵）。例如，若$A^T\beta = \lambda\beta$，则$\beta$与$\alpha$一般不同。不一定成立。

（4）$E - \frac{1}{2}A$

计算得：
$\left(E - \frac{1}{2}A\right)\alpha = E\alpha - \frac{1}{2}A\alpha = \alpha - \frac{1}{2}\lambda\alpha = \left(1 - \frac{\lambda}{2}\right)\alpha.$
因此，$\alpha$是该矩阵的特征向量，对应特征值$1 - \frac{\lambda}{2}$。成立。

结论：（1）和（4）成立，共2个。