求幂级数 sum_(n=1)^infty (n+1)nx^n 的和函数，并指出收敛区间 (). A. (2x)/((1-x)^3), (-1,1)B. (x^2)/(1-x), (-1,1)C. (x^3)/(1-x), (-1,1)D. (2)/((1-x)^3), (-1,1)

为了求幂级数$\sum_{n=1}^{\infty}(n+1)nx^n$的和函数，并确定其收敛区间，我们将遵循以下步骤： 1. **确定收敛区间：** 我们使用比值测试来找到收敛半径。比值测试指出，如果$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L$，那么级数在$L < 1$时收敛。 对于级数$\sum_{n=1}^{\infty}(n+1)nx^n$，通项是$a_n = (n+1)nx^n$。因此，下一项是$a_{n+1} = (n+2)(n+1)x^{n+1}$。 应用比值测试，我们得到： \[ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+2)(n+1)x^{n+1}}{(n+1)nx^n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+2)x}{n} \right| = |x| \lim_{n \to \infty} \left| \frac{n+2}{n} \right| = |x| \cdot 1 = |x| \] 级数在$|x| < 1$时收敛。因此，收敛区间是$(-1, 1)$。 2. **求和函数：** 为了求和函数，我们从已知的几何级数和开始，然后进行微分。几何级数$\sum_{n=0}^{\infty} x^n$的和是$\frac{1}{1-x}$对于$|x| < 1$。 首先，我们对这个级数关于$x$进行微分： \[ \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{1-x} \right) = \frac{1}{(1-x)^2} \] 将两边乘以$x$，我们得到： \[ x \sum_{n=1}^{\infty} nx^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x}{(1-x)^2} \] 接下来，我们再次对这个级数关于$x$进行微分： \[ \frac{d}{dx} \left( \sum_{n=1}^{\infty} nx^n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{(1-x)^2} \right) = \frac{(1-x)^2 + 2x(1-x)}{(1-x)^4} = \frac{1 - 2x + x^2 + 2x - 2x^2}{(1-x)^4} = \frac{1 - x^2}{(1-x)^4} = \frac{1+x}{(1-x)^3} \] 将两边乘以$x$，我们得到： \[ x \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3} \] 我们需要的级数是$\sum_{n=1}^{\infty} (n+1)nx^n$。我们可以将这个级数表示为： \[ \sum_{n=1}^{\infty} (n+1)nx^n = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n + \sum_{n=1}^{\infty} nx^n = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3} + \frac{x}{(1-x)^2} = \frac{x + x^2 + x - x^2}{(1-x)^3} = \frac{2x}{(1-x)^3} \] 因此，幂级数$\sum_{n=1}^{\infty} (n+1)nx^n$的和函数是$\frac{2x}{(1-x)^3}$，收敛区间是$(-1, 1)$。 正确答案是$\boxed{A}$。