题目

设随机变量sim U(-2,4)，则方程sim U(-2,4)有实根的概率是____。

设随机变量 $X\sim U(-2,4)$ ，则方程 $4x^2+4Xx+X+2=0$ 有实根的概率是____。

题目解答

答案

$X\sim U(-2,4)$ 表示X服从区间 $\left(-2,4\right)$ 上的均匀分布，则X的概率密度函数为 $f\left(x\right)=\left \{ ^{\frac{1}{4-\left(-2\right)}=\frac{1}{6},-2<x<4}_{0,else} \right.$ ，方程 $4x^2+4Xx+X+2=0$ 有实根的条件为 $B^2-4AC=\left(4X\right)^2-4\times4\times\left(X+2\right)$ $=16\left(X^2-X-2\right)\ge0$ ，则 $\left(X-2\right)\left(X+1\right)\ge0$ ，则方程有实根的概率是 $P\left\{\left(X-2\right)\left(X+1\right)\ge0\right\}=P\left(X\ge2\right)+P\left(X\le-1\right)$ $=\int_2^{+\infty}f\left(x\right)dx+\int_{-\infty}^{-1}f\left(x\right)dx=\int_2^4\frac{1}{6}dx$ $+\int_{-2}^{-1}\frac{1}{6}dx=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}$ 。