题目
设函数 f(x,y)连续,且 (x,y)=x+iint yf(u,v)dudv, 其中 D 由 =dfrac (1)(x) =1 =2 围成,求f(x,y).
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义积分常数
设 $A={\iint }_{D}^{f(u,v)dudv}$ ,则 $A=\iint f(x,y)dxdy$ .
步骤 2：代入函数表达式
根据题意，$f(x,y)=x+{\int }_{b}^{f}yf(utv)dudv$ 可以写成 $f(x,y)=x+yA$.
步骤 3：求二重积分
两边求二重积分，得到 $A= |(x+Ay)dxdy =|dy|.(x+Ay)dx$.
步骤 4：计算二重积分
$A={\int }_{1}^{2}(\dfrac {1}{2}+Ay-\dfrac {1}{2{y}^{2}}-A)dy$ $=(\dfrac {1}{2}y+\dfrac {A}{2}{y}^{2}+\dfrac {1}{2y}-Ay){\int }_{3}^{2}$ $=\dfrac {1}{2}A+\dfrac {1}{4}$.
步骤 5：求解A
从而 $A=\dfrac {1}{2}$.
步骤 6：代入A求f(x,y)
故 $f(x,y)=x+\dfrac {1}{2}y$.
设 $A={\iint }_{D}^{f(u,v)dudv}$ ,则 $A=\iint f(x,y)dxdy$ .
步骤 2：代入函数表达式
根据题意，$f(x,y)=x+{\int }_{b}^{f}yf(utv)dudv$ 可以写成 $f(x,y)=x+yA$.
步骤 3：求二重积分
两边求二重积分，得到 $A= |(x+Ay)dxdy =|dy|.(x+Ay)dx$.
步骤 4：计算二重积分
$A={\int }_{1}^{2}(\dfrac {1}{2}+Ay-\dfrac {1}{2{y}^{2}}-A)dy$ $=(\dfrac {1}{2}y+\dfrac {A}{2}{y}^{2}+\dfrac {1}{2y}-Ay){\int }_{3}^{2}$ $=\dfrac {1}{2}A+\dfrac {1}{4}$.
步骤 5：求解A
从而 $A=\dfrac {1}{2}$.
步骤 6：代入A求f(x,y)
故 $f(x,y)=x+\dfrac {1}{2}y$.