当 x arrow 0 时, alpha(x), beta(x) 是非零无穷小量, 给出以下四个命题:① 若 alpha(x) sim beta(x), 则 alpha^2(x) sim beta^2(x).② 若 alpha^2(x) sim beta^2(x), 则 alpha(x) sim beta(x).③ 若 alpha(x) sim beta(x), 则 alpha(x) - beta(x) = o(alpha(x)).④ 若 alpha(x) - beta(x) = o(alpha(x)), 则 alpha(x) sim beta(x).其中所有真命题的序号是 ( ).(A) ①③(B) ①④(C) ①③④(D) ②③④
当 $x \rightarrow 0$ 时, $\alpha(x)$, $\beta(x)$ 是非零无穷小量, 给出以下四个命题: ① 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$, 则 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$. ② 若 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$, 则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$. ③ 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$, 则 $\alpha(x) - \beta(x) = o(\alpha(x))$. ④ 若 $\alpha(x) - \beta(x) = o(\alpha(x))$, 则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$. 其中所有真命题的序号是 ( ). (A) ①③ (B) ①④ (C) ①③④ (D) ②③④
题目解答
答案
我们来逐个分析这四个命题，条件是当 $ x \to 0 $ 时，$\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 都是非零无穷小量，即 $\alpha(x) \to 0$，$\beta(x) \to 0$，但 $\alpha(x) \ne 0$、$\beta(x) \ne 0$（在去心邻域内）。
我们回顾一下等价无穷小的定义：
> 若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$，当 $x \to 0$，指的是：
>
$> \lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1
>$
同时，$o(\alpha(x))$ 表示比 $\alpha(x)$ 更高阶的无穷小，即：
> $f(x) = o(\alpha(x))$ 当 $x \to 0$，意味着 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\alpha(x)} = 0$
命题①：若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$，则 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$
分析：
已知 $\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$
我们要看 $\frac{\alpha^2(x)}{\beta^2(x)} = \left( \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \right)^2 \to 1^2 = 1$
所以 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$
✅ 命题①为真
命题②：若 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$，则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$
分析：
已知 $\lim_{x \to 0} \frac{\alpha^2(x)}{\beta^2(x)} = 1$，即 $\left( \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \right)^2 \to 1$
这说明 $\left| \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \right| \to 1$，即 $\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \to 1$ 或 $\to -1$
但 $\alpha(x) \sim \beta(x)$ 要求极限为 1，而不是 -1。
举个反例：
令 $\alpha(x) = x$，$\beta(x) = -x$，当 $x \to 0$
则 $\alpha^2(x) = x^2$，$\beta^2(x) = x^2$，显然 $\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$
但 $\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \frac{x}{-x} = -1 \to -1 \ne 1$，所以 $\alpha(x) \not\sim \beta(x)$
因此，命题②不成立。
❌ 命题②为假
命题③：若 $\alpha(x) \sim \beta(x)$，则 $\alpha(x) - \beta(x) = o(\alpha(x))$
分析：
我们要验证：
$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)} = 0$
拆开：
$\frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)} = 1 - \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}$
由于 $\alpha(x) \sim \beta(x)$，有 $\lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = 1$，所以：
$\lim_{x \to 0} \left(1 - \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}\right) = 1 - 1 = 0$
因此 $\alpha(x) - \beta(x) = o(\alpha(x))$
✅ 命题③为真
命题④：若 $\alpha(x) - \beta(x) = o(\alpha(x))$，则 $\alpha(x) \sim \beta(x)$
分析：
已知：
$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)} = 0
\Rightarrow \lim_{x \to 0} \left(1 - \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}\right) = 0
\Rightarrow \lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = 1$
即 $\beta(x) \sim \alpha(x)$，等价于 $\alpha(x) \sim \beta(x)$
注意：等价无穷小是对称的，$\alpha \sim \beta \Leftrightarrow \beta \sim \alpha$
所以这个极限成立，就说明等价。
✅ 命题④为真
总结：
- ①：真
- ②：假
- ③：真
- ④：真
所以真命题是：①③④
正确答案是：$\boxed{\text{(C) ①③④}}$
解析
本题主要考查等价无穷小的定义以及高阶无穷小的概念，通过对每个命题依据相关定义进行分析和计算来判断其真假。
- 命题①：
- 已知当$x \to 0$时，$\alpha(x) \sim \beta(x)$，根据等价无穷小的定义，有$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$。
- 对于$\frac{\alpha^2(x)}{\beta^2(x)}$，可变形为$\left( \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \right)^2$。
- 那么$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha^2(x)}{\beta^2(x)} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \right)^2$，将$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$代入可得：$\lim_{x \to 0} \left( \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \right)^2 = 1^2 = 1$。
- 由等价无穷小的定义可知$\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$，所以命题①为真。
- 命题②：
- 已知当$x \to 0$时，$\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$，即$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha^2(x)}{\beta^2(x)} = 1$，也就是$\left( \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \right)^2 \to 1$。
- 这只能说明$\left| \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \right| \to 1$，即$\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \to 1$或$\frac{\alpha(x)}{\beta(x)} \to -1$。
- 而$\alpha(x) \sim \beta(x)$要求$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$，并非$-1$。
- 举反例：令$\alpha(x) = x$，$\beta(x) = -x$，当$x \to 0$时，$\alpha^2(x) = x^2$，$\beta^2(x) = x^2$，显然$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha^2(x)}{\beta^2(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1$，即$\alpha^2(x) \sim \beta^2(x)$。
- 但$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{-x} = -1 \neq 1$，所以$\alpha(x) \not\sim \beta(x)$，命题②为假。
- 命题③：
- 要验证$\alpha(x) - \beta(x) = o(\alpha(x))$，根据高阶无穷小的定义，需验证$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)} = 0$。
- 对$\frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)}$进行化简：$\frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)} = 1 - \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}$。
- 因为$\alpha(x) \sim \beta(x)$，所以$\lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = 1$。
- 则$\lim_{x \to 0} \left(1 - \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}\right) = 1 - 1 = 0$，即$\alpha(x) - \beta(x) = o(\alpha(x))$，命题③为真。
- 命题④：
- 已知$\alpha(x) - \beta(x) = o(\alpha(x))$，根据高阶无穷小的定义，有$\lim_{x \to 0} \frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)} = 0$。
- 对$\frac{\alpha(x) - \beta(x)}{\alpha(x)}$进行变形可得$1 - \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}$，即$\lim_{x \to 0} \left(1 - \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}\right) = 0$。
- 移项可得$\lim_{x \to 0} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)} = 1$，根据等价无穷小的定义可知$\beta(x) \sim \alpha(x)$，又因为等价无穷小是对称的，即$\alpha \sim \beta \Leftrightarrow \beta \sim \alpha$，所以$\alpha(x) \sim \beta(x)$，命题④为真。