题目
函数 y = 4(x + 2)^2 的单调增加区间是 _________.
函数 $y = 4(x + 2)^2$ 的单调增加区间是 _________.
题目解答
答案
我们来分析函数 $ y = 4(x + 2)^2 $ 的单调增加区间。
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### 第一步：理解函数形式
函数是：
$$
y = 4(x + 2)^2
$$
这是一个**二次函数**，形式为：
$$
y = a(x - h)^2 + k
$$
其中 $ a = 4 $，$ h = -2 $，$ k = 0 $。
因为 $ a = 4 > 0 $，所以这是一个**开口向上的抛物线**，其顶点在 $ x = -2 $ 处。
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### 第二步：求导判断单调性
我们对函数求导，得到导数：
$$
y' = \frac{d}{dx}[4(x + 2)^2] = 4 \cdot 2(x + 2) = 8(x + 2)
$$
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### 第三步：判断导数符号
我们令导数 $ y' > 0 $，来判断函数在哪些区间是**单调递增**的：
$$
8(x + 2) > 0 \Rightarrow x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2
$$
---
### 第四步：得出单调增加区间
当 $ x > -2 $ 时，导数为正，函数单调递增。
所以，函数 $ y = 4(x + 2)^2 $ 的**单调增加区间**是：
$$
\boxed{(-2, +\infty)}
$$
解析
本题考查二次函数的单调性，解题思路是先将函数化为标准形式判断其开口方向和对称轴，再通过求导的方法确定函数的单调区间。
- 分析函数形式：
已知函数$y = 4(x + 2)^2$，它是二次函数的顶点式$y = a(x - h)^2 + k$（其中$a = 4$，$h = -2$，$k = 0$）。
因为$a = 4>0$，所以该函数图象是开口向上的抛物线，其对称轴为$x = h=-2$。 - 求导判断单调性：
根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$以及复合函数求导法则对函数$y = 4(x + 2)^2$求导。
令$u=x + 2$，则$y = 4u^2$。
先对$y$关于$u$求导：$\frac{dy}{du}=4\times2u = 8u$。
再对$u$关于$x$求导：$\frac{du}{dx}=1$。
根据复合函数求导法则$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$，可得$y^\prime=8u\times1 = 8(x + 2)$。 - 判断导数符号：
令$y^\prime>0$，即$8(x + 2)>0$。
不等式两边同时除以$8$，得到$x + 2>0$。
移项可得$x>-2$。 - 得出单调增加区间：
当$x>-2$时，导数$y^\prime>0$，函数单调递增。
所以函数$y = 4(x + 2)^2$的单调增加区间是$(-2, +\infty)$。