题目

17、计算二重积分 iint (3(x)^2+2y)dxdy, 其中D由直线 =-pi =pi =2 及直线 =sin x-|||-围成 bigcirc

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查二重积分的计算，涉及直角坐标系下积分区域的确定、对称性的应用以及分项积分法。

解题核心思路：

  1. 确定积分区域：积分区域D由$x=-\pi$、$x=\pi$、$y=2$和$y=\sin x$围成，需明确$x$和$y$的积分上下限。
  2. 选择积分顺序：优先选择先对$y$积分，再对$x$积分，因为$x$的范围明确（$-\pi$到$\pi$），而$y$在每个$x$处的上下限为$\sin x$到$2$。
  3. 分项积分：将被积函数$3x^2 + 2y$拆分为$3x^2$和$2y$分别积分，利用对称性简化计算。

破题关键点：

  • 对称性应用：利用偶函数和奇函数的积分性质，简化$\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin x \, dx$的计算。
  • 三角恒等式：将$\sin^2 x$转化为$\frac{1 - \cos 2x}{2}$，简化积分。

步骤1：确定积分区域与积分顺序

积分区域D为$x \in [-\pi, \pi]$，$y \in [\sin x, 2]$，选择先对$y$积分，再对$x$积分：
$\iint_D (3x^2 + 2y) \, dxdy = \int_{-\pi}^{\pi} \int_{\sin x}^{2} (3x^2 + 2y) \, dydx.$

步骤2：分项积分

将积分拆分为两部分：
$\int_{-\pi}^{\pi} \int_{\sin x}^{2} 3x^2 \, dydx + \int_{-\pi}^{\pi} \int_{\sin x}^{2} 2y \, dydx.$

第一部分：$\int_{-\pi}^{\pi} \int_{\sin x}^{2} 3x^2 \, dydx$

  1. 对$y$积分：
    $\int_{\sin x}^{2} 3x^2 \, dy = 3x^2 \cdot (2 - \sin x).$
  2. 对$x$积分：
    $3 \int_{-\pi}^{\pi} x^2 (2 - \sin x) \, dx = 6 \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx - 3 \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin x \, dx.$
    • 第一项：$x^2$为偶函数，积分区间对称，化简为：
      $6 \cdot 2 \int_{0}^{\pi} x^2 \, dx = 12 \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^{\pi} = 4\pi^3.$
    • 第二项：$x^2 \sin x$为奇函数，积分结果为$0$。

第二部分：$\int_{-\pi}^{\pi} \int_{\sin x}^{2} 2y \, dydx$

  1. 对$y$积分：
    $\int_{\sin x}^{2} 2y \, dy = \left[ y^2 \right]_{\sin x}^{2} = 4 - \sin^2 x.$
  2. 对$x$积分：
    $\int_{-\pi}^{\pi} (4 - \sin^2 x) \, dx = 4 \cdot 2\pi - \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x \, dx.$
    • 第一项：$4 \cdot 2\pi = 8\pi$。
    • 第二项：利用$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$，积分化简为：
      $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \pi.$
    • 最终结果：$8\pi - \pi = 7\pi$。

步骤3：合并结果

两部分相加：
$4\pi^3 + 7\pi.$