将3只球随机地放入4个杯子中，杯子中球的最大个数为3的概率是()。A. (A_3^3 A_4^1)/(3^4)B. (A_3^3 A_4^1)/(4^3)C. (C_3^3 A_4^1)/(4^3)D. (C_3^3 A_4^1)/(3^4)

我们来一步一步地分析这道概率题：

题目：

将3只球随机地放入4个杯子中，杯子中球的最大个数为3的概率是（ ）。

第一步：理解题意

我们要将 3只球 随机地放入 4个杯子 中。

每个球可以独立地放入任意一个杯子中，杯子可以容纳多个球，也可以为空。

我们要求的是：某个杯子中恰好有3个球（即最大个数为3）的概率。

注意：“最大个数为3”意味着 有一个杯子有3个球，其余杯子都是空的，因为总共只有3个球。

第二步：确定总的放法数（样本空间）

每个球有4个杯子可以选择，3个球是独立放置的。

所以总的放法数是：

$4^3 = 64$

（每个球有4种选择，共3个球）

第三步：确定满足“最大个数为3”的放法数

“最大个数为3”意味着：3个球都在同一个杯子中。

我们来计算这种情况的放法数：

1. 从4个杯子中选1个杯子，用来放全部3个球：有 $ A_4^1 = 4 $ 种选法（或者写作 $ C_4^1 = 4 $）。
2. 3个球都必须放进这个选中的杯子：只有一种方式（因为球全部放进去，不涉及排列）。

注意：这里球是否可区分会影响计算。

我们来判断一下题中“球”是否可区分。

• 题目说“随机地放入”，一般在这种题目中，如果球是不可区分的，通常会特别说明。
• 但看选项中出现了 $ A_3^3 $、$ C_3^3 $，说明在考虑排列组合，暗示球可能是可区分的。

我们进一步分析：

• 如果球是可区分的（比如编号为1、2、3），那么每个球有4种选择，总放法是 $ 4^3 $，这与选项中的分母一致（B和C的分母是 $ 4^3 $）。
• 所以我们推断：球是可区分的。

第四步：计算有利事件数

我们要求的是：3个可区分的球全部放入同一个杯子中。

步骤：

1. 选择一个杯子来放这3个球：有 $ C_4^1 = 4 $ 种方法。
2. 把3个球全部放进这个杯子：因为球是可区分的，但只要都放进去，就只对应一种放法（每个球都选这个杯子）。

例如：球1、球2、球3都选杯子A，这是一种放法。

所以，对于每一个选定的杯子，只有一种方式让3个球都放入它。

因此，总共有 $ 4 $ 种放法，使得所有3个球在同一个杯子中。

即：有利事件数 = $ 4 $

第五步：计算概率

$\text{概率} = \frac{\text{有利事件数}}{\text{总事件数}} = \frac{4}{4^3} = \frac{4}{64} = \frac{1}{16}$

第六步：对照选项

我们来看选项：

A. $ \frac{A_3^3 A_4^1}{3^4} = \frac{6 \times 4}{81} = \frac{24}{81} $ ❌ 分母是 $ 3^4 $，不对

B. $ \frac{A_3^3 A_4^1}{4^3} = \frac{6 \times 4}{64} = \frac{24}{64} $ ❌ 太大

C. $ \frac{C_3^3 A_4^1}{4^3} = \frac{1 \times 4}{64} = \frac{4}{64} = \frac{1}{16} $ ✅ 正确！

D. $ \frac{C_3^3 A_4^1}{3^4} = \frac{1 \times 4}{81} = \frac{4}{81} $ ❌ 分母错

第七步：解释为什么是 $ C_3^3 $ 而不是 $ A_3^3 $

• $ C_3^3 = 1 $：表示从3个球中选出3个球放进同一个杯子，只有一种选法。
• 因为我们要的是“所有3个球都在一个杯子里”，不需要对球进行排列，只需要选出全部球即可。
• $ A_3^3 = 6 $ 是排列，表示顺序，但这里球虽然可区分，但放进同一个杯子时，并不需要额外排列，只要都放进去就行。

所以用 $ C_3^3 $ 更合适，表示“选出全部3个球放进一个杯子”。

或者更准确地说：其实这里根本不需要从3个球中选3个，因为必须全部放进去，所以就是1种方式。

✅ 最终答案：

$\boxed{C. \frac{C_3^3 A_4^1}{4^3}}$