题目
关于二元函数 f(x, y)= x^2 + y^2 - 6x + 4y 说法正确的是()A. 没有极值;B. 有极小值为 f(0, 0)= 0.C. 有极大值为 f(3, -2)= -13;D. 有极小值为 f(3, -2)= -13.
关于二元函数 $f(x, y)= x^2 + y^2 - 6x + 4y$ 说法正确的是()
A. 没有极值;
B. 有极小值为 $f(0, 0)= 0$.
C. 有极大值为 $f(3, -2)= -13$;
D. 有极小值为 $f(3, -2)= -13$.
题目解答
答案
D. 有极小值为 $f(3, -2)= -13$.
解析
步骤 1：求偏导数
对函数 $f(x, y)= x^2 + y^2 - 6x + 4y$ 求偏导数，得到：
\[ f_x = 2x - 6, \quad f_y = 2y + 4 \]
步骤 2：求驻点
令偏导数等于零，得到驻点：
\[ 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3 \]
\[ 2y + 4 = 0 \Rightarrow y = -2 \]
因此，驻点为 $(3, -2)$。
步骤 3：二阶导数测试
计算二阶偏导数：
\[ f_{xx} = 2, \quad f_{yy} = 2, \quad f_{xy} = 0 \]
计算判别式 $D$：
\[ D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0 \]
由于 $D > 0$ 且 $f_{xx} > 0$，根据二阶导数测试，驻点 $(3, -2)$ 是极小值点。
步骤 4：计算极小值
计算极小值：
\[ f(3, -2) = 3^2 + (-2)^2 - 6 \cdot 3 + 4 \cdot (-2) = 9 + 4 - 18 - 8 = -13 \]
对函数 $f(x, y)= x^2 + y^2 - 6x + 4y$ 求偏导数，得到：
\[ f_x = 2x - 6, \quad f_y = 2y + 4 \]
步骤 2：求驻点
令偏导数等于零，得到驻点：
\[ 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3 \]
\[ 2y + 4 = 0 \Rightarrow y = -2 \]
因此，驻点为 $(3, -2)$。
步骤 3：二阶导数测试
计算二阶偏导数：
\[ f_{xx} = 2, \quad f_{yy} = 2, \quad f_{xy} = 0 \]
计算判别式 $D$：
\[ D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0 \]
由于 $D > 0$ 且 $f_{xx} > 0$，根据二阶导数测试，驻点 $(3, -2)$ 是极小值点。
步骤 4：计算极小值
计算极小值：
\[ f(3, -2) = 3^2 + (-2)^2 - 6 \cdot 3 + 4 \cdot (-2) = 9 + 4 - 18 - 8 = -13 \]