题目

122 (2022江苏)求极限lim_(xto0)(e^sin x-sin x-1)/(xsin x).

122 (2022江苏)求极限$\lim_{x\to0}\frac{e^{\sin x}-\sin x-1}{x\sin x}.$

题目解答

答案

当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，原式可近似为 \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - \sin x - 1}{x^2}. \] 应用洛必达法则，分子求导得 \[ \cos x(e^{\sin x} - 1) \sim e^{\sin x} - 1 \sim \sin x \sim x, \] 分母求导得 $2x$，故 \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x(e^{\sin x} - 1)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}. \] 或使用泰勒展开，近似得 \[ e^{\sin x} - \sin x - 1 \approx \frac{x^2}{2}, \] 从而 \[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}. \] 答案：$\boxed{\frac{1}{2}}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，涉及等价无穷小替换、泰勒展开和洛必达法则的应用。

解题核心思路：
当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，可将分母简化为$x^2$。分子部分$e^{\sin x} - \sin x -1$需展开到足够阶数，或通过求导消去低阶无穷小。关键在于识别分子分母均为0/0型不定式，选择合适的方法（泰勒展开或洛必达法则）化简。

破题关键点：

  1. 等价无穷小替换简化分母；
  2. 泰勒展开或两次洛必达法则处理分子高阶小项。

方法一：泰勒展开法

  1. 展开$e^{\sin x}$：
    当$x \to 0$时，$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，代入$e^t$的展开式：
    $e^{\sin x} = 1 + \sin x + \frac{(\sin x)^2}{2} + \frac{(\sin x)^3}{6} + o((\sin x)^3).$

  2. 化简分子：
    $e^{\sin x} - \sin x -1 = \frac{(\sin x)^2}{2} + \frac{(\sin x)^3}{6} + o((\sin x)^3).$
    当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，故分子近似为$\frac{x^2}{2}$。

  3. 代入分母并求极限：
    $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x \cdot x} = \frac{1}{2}.$

方法二：洛必达法则

  1. 第一次求导：
    分子导数：$\cos x \cdot e^{\sin x} - \cos x$；
    分母导数：$\sin x + x \cos x$。
    带入$x=0$仍为$\frac{0}{0}$型，需再次求导。

  2. 第二次求导：
    分子二次导数：
    $-\sin x e^{\sin x} + \cos^2 x e^{\sin x} + \sin x.$
    分母二次导数：
    $2\cos x - x \sin x.$
    带入$x=0$得极限值$\frac{1}{2}$。