题目
一个高为1的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆．现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为 3 2 b时，计算油的质量．（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为ρkg/m 3）
一个高为1的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短轴为2b的椭圆．现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为
b时，计算油的质量．（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为ρkg/m
3）
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题目解答
答案
建立如图所示的直角坐标系，长轴在x轴上，短轴在y轴上，且长轴和短轴的中心在原点，
则油罐底面椭圆方程为：
+
＝1
S 1表示椭圆在直线 y＝−
b以下的面积；S
2表示椭圆在直线
y＝−
以上的面积
则S 1=
[a
−(−a
)]dy＝
dy
bcost•bcostdt＝2ab
dt
= ab[t+
sin2t
＝ab(
−
)
∴ S2＝πab−S1＝ab(
π−
)
即，平放油罐，当油罐中油面高度为
b时，油罐的底面积为
ab(
π−
)
因此油罐的质量为：
S2lρ＝(
+
)ablρ
则油罐底面椭圆方程为：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
S 1表示椭圆在直线 y＝−
| 1 |
| 2 |
| b |
| 2 |
则S 1=
| ∫ |
−
−
b
|
|
|
1−
|
|
|
1−
|
| 2a |
| b |
| ∫ |
−
−
b
|
|
|
b2−y2 |
| 令y＝bsint |
|
.
|
|
−
−
|
| ∫ |
−
−
|
| 1+cos2t |
| 2 |
= ab[t+
| 1 |
| 2 |
| ] |
−
−
|
| π |
| 3 |
|
||
| 4 |
∴ S2＝πab−S1＝ab(
| 2 |
| 3 |
|
||
| 4 |
即，平放油罐，当油罐中油面高度为
| 3 |
| 2 |
ab(
| 2 |
| 3 |
|
||
| 4 |
因此油罐的质量为：
S2lρ＝(
| 2π |
| 3 |
|
||
| 4 |
解析
步骤 1：建立坐标系
建立直角坐标系，长轴在x轴上，短轴在y轴上，且长轴和短轴的中心在原点。椭圆方程为：
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
步骤 2：计算油面以下的面积
油面高度为 \(\frac{3}{2}b\)，因此油面以下的面积 \(S_1\) 可以通过积分计算。积分的范围是从 \(-b\) 到 \(-\frac{b}{2}\)。
\[
S_1 = \int_{-b}^{-\frac{b}{2}} [a \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}} - (-a \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}})] dy = 2a \int_{-b}^{-\frac{b}{2}} \sqrt{b^2 - y^2} dy
\]
令 \(y = b \sin t\)，则 \(dy = b \cos t dt\)，积分范围变为 \(-\frac{\pi}{2}\) 到 \(-\frac{\pi}{6}\)。
\[
S_1 = 2a \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{6}} b \cos t \cdot b \cos t dt = 2ab \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{6}} \cos^2 t dt
\]
利用 \(\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}\)。
\[
S_1 = 2ab \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{6}} \frac{1 + \cos 2t}{2} dt = ab \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{6}} (1 + \cos 2t) dt
\]
\[
S_1 = ab \left[ t + \frac{1}{2} \sin 2t \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{6}} = ab \left( -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = ab \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right)
\]
步骤 3：计算油面以上的面积
油面以上的面积 \(S_2\) 为椭圆面积减去 \(S_1\)。
\[
S_2 = \pi ab - S_1 = \pi ab - ab \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = ab \left( \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right)
\]
步骤 4：计算油的质量
油的质量为油面以上的面积乘以油罐的高度和油的密度。
\[
m = S_2 \cdot l \cdot \rho = ab \left( \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) \cdot 1 \cdot \rho = ab \left( \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) \rho
\]
建立直角坐标系，长轴在x轴上，短轴在y轴上，且长轴和短轴的中心在原点。椭圆方程为：
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
步骤 2：计算油面以下的面积
油面高度为 \(\frac{3}{2}b\)，因此油面以下的面积 \(S_1\) 可以通过积分计算。积分的范围是从 \(-b\) 到 \(-\frac{b}{2}\)。
\[
S_1 = \int_{-b}^{-\frac{b}{2}} [a \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}} - (-a \sqrt{1 - \frac{y^2}{b^2}})] dy = 2a \int_{-b}^{-\frac{b}{2}} \sqrt{b^2 - y^2} dy
\]
令 \(y = b \sin t\)，则 \(dy = b \cos t dt\)，积分范围变为 \(-\frac{\pi}{2}\) 到 \(-\frac{\pi}{6}\)。
\[
S_1 = 2a \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{6}} b \cos t \cdot b \cos t dt = 2ab \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{6}} \cos^2 t dt
\]
利用 \(\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}\)。
\[
S_1 = 2ab \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{6}} \frac{1 + \cos 2t}{2} dt = ab \int_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{6}} (1 + \cos 2t) dt
\]
\[
S_1 = ab \left[ t + \frac{1}{2} \sin 2t \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{6}} = ab \left( -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = ab \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right)
\]
步骤 3：计算油面以上的面积
油面以上的面积 \(S_2\) 为椭圆面积减去 \(S_1\)。
\[
S_2 = \pi ab - S_1 = \pi ab - ab \left( \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = ab \left( \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right)
\]
步骤 4：计算油的质量
油的质量为油面以上的面积乘以油罐的高度和油的密度。
\[
m = S_2 \cdot l \cdot \rho = ab \left( \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) \cdot 1 \cdot \rho = ab \left( \frac{2\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) \rho
\]