[例3]曲线 =x(e)^-x 的拐点为 ()

本题考察利用导数求曲线的拐点，解题思路如下：

步骤1：明确拐点的定义

拐点是函数二阶导数变号的点（或二阶导数为0且两侧导数符号相反的点），需先求二阶导数，再找导数变号的点。

步骤2：计算一阶导数

给定曲线 $y = x e^{-x}$，根据乘积法则求导：
$y' = \frac{d}{dx}(x e^{-x}) = e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$

步骤3：计算二阶导数

对一阶导数 $y' = e^{-x}(1 - x)$ 再次求导（仍用乘积法则）：
$y'' = \frac{d}{dx}\left[ e^{-x}(1 - x) \right] = -e^{-x}(1 - x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}\left[ -(1 - x) - 1 \right] = e^{-x}(x - 2)$
（注：$e^{-x} > 0$ 恒成立，二阶导数的符号由 $x - 2$ 决定）

步骤4：分析二阶导数的符号

• 当 $x < 2$ 时，$x - 2 < 0$，故 $y'' < 0$，曲线下凸；
• 当 $x > 2$ 时，$x - 2 > 0$，故 $y'' > 0$，曲线上凸；
• 在 $x = 2$ 处，$y'' = 0$，且两侧二阶导数符号相反。

步骤5：求拐点坐标

将 $x = 2$ 代入原函数得 $y = 2e^{-2} = \frac{2}{e^2}$，故拐点为 $(2, \frac{2}{e^2})$。