题目
设向量组a1,a2,a3,a4线性相关,则向量组中()A. 必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B. 必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C. 必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D. 每一个向量可以表为其余向量的线性组合
设向量组a1,a2,a3,a4线性相关,则向量组中()
A. 必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
B. 必有两个向量可以表为其余向量的线性组合
C. 必有三个向量可以表为其余向量的线性组合
D. 每一个向量可以表为其余向量的线性组合
题目解答
答案
A. 必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
解析
步骤 1:理解线性相关性
向量组线性相关意味着存在一组不全为零的系数,使得这些向量的线性组合等于零向量。即存在不全为零的数k1, k2, k3, k4,使得k1a1 + k2a2 + k3a3 + k4a4 = 0。
步骤 2:分析选项
A. 必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
如果向量组线性相关,那么至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。这是因为如果所有向量都是线性无关的,那么它们的线性组合不可能等于零向量,除非所有系数都为零。因此,至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。
B. 必有两个向量可以表为其余向量的线性组合
这不一定成立。线性相关性只保证至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合,但不保证有两个向量可以表示为其他向量的线性组合。
C. 必有三个向量可以表为其余向量的线性组合
这也不一定成立。线性相关性只保证至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合,但不保证有三个向量可以表示为其他向量的线性组合。
D. 每一个向量可以表为其余向量的线性组合
这也不一定成立。线性相关性只保证至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合,但不保证每一个向量都可以表示为其他向量的线性组合。
向量组线性相关意味着存在一组不全为零的系数,使得这些向量的线性组合等于零向量。即存在不全为零的数k1, k2, k3, k4,使得k1a1 + k2a2 + k3a3 + k4a4 = 0。
步骤 2:分析选项
A. 必有一个向量可以表为其余向量的线性组合
如果向量组线性相关,那么至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。这是因为如果所有向量都是线性无关的,那么它们的线性组合不可能等于零向量,除非所有系数都为零。因此,至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。
B. 必有两个向量可以表为其余向量的线性组合
这不一定成立。线性相关性只保证至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合,但不保证有两个向量可以表示为其他向量的线性组合。
C. 必有三个向量可以表为其余向量的线性组合
这也不一定成立。线性相关性只保证至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合,但不保证有三个向量可以表示为其他向量的线性组合。
D. 每一个向量可以表为其余向量的线性组合
这也不一定成立。线性相关性只保证至少有一个向量可以表示为其他向量的线性组合,但不保证每一个向量都可以表示为其他向量的线性组合。