题目
59 lim_(n to infty ) sum_(i=1)^n (n)/(n^2)+i^(2+1)=____
59 $\lim_{n \to \infty } \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+i^{2}+1}=$____
题目解答
答案
将原和式重写为：
\[
\sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^2 + i^2 + 1} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{i}{n}\right)^2 + \frac{1}{n^2}}
\]
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n^2} \to 0$，近似为：
\[
\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{i}{n}\right)^2}
\]
此为函数 $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ 在 $[0, 1]$ 上的黎曼和，收敛于积分：
\[
\int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \left. \arctan x \right|_0^1 = \frac{\pi}{4}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{\pi}{4}}$
解析
步骤 1：重写和式
将原和式重写为： \[ \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^2 + i^2 + 1} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{i}{n}\right)^2 + \frac{1}{n^2}} \]
步骤 2：近似处理
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n^2} \to 0$，因此可以近似为： \[ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{i}{n}\right)^2} \]
步骤 3：识别黎曼和
此和式为函数 $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ 在 $[0, 1]$ 上的黎曼和，收敛于积分： \[ \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \left. \arctan x \right|_0^1 = \frac{\pi}{4} \]
将原和式重写为： \[ \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^2 + i^2 + 1} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{i}{n}\right)^2 + \frac{1}{n^2}} \]
步骤 2：近似处理
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n^2} \to 0$，因此可以近似为： \[ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{i}{n}\right)^2} \]
步骤 3：识别黎曼和
此和式为函数 $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$ 在 $[0, 1]$ 上的黎曼和，收敛于积分： \[ \int_0^1 \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \left. \arctan x \right|_0^1 = \frac{\pi}{4} \]