题目
int dfrac (1)(sqrt {x)+sqrt [4](x)}dx
题目解答
答案
解析
步骤 1：换元
令 $\sqrt[4]{x} = t$，则 $x = t^4$，从而 $dx = 4t^3 dt$。
步骤 2：代入
将 $x = t^4$ 和 $dx = 4t^3 dt$ 代入原积分，得到
$$\int \dfrac{1}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}} dx = \int \dfrac{4t^3}{t^2 + t} dt$$
步骤 3：化简
化简被积函数，得到
$$\int \dfrac{4t^3}{t^2 + t} dt = \int \dfrac{4t^2}{t + 1} dt$$
步骤 4：分部积分
将被积函数分解为多项式和有理函数，得到
$$\int \dfrac{4t^2}{t + 1} dt = \int \dfrac{4t^2 + 4t - 4t - 4 + 4}{t + 1} dt$$
步骤 5：分项积分
将积分分解为多项式和有理函数的积分，得到
$$\int \dfrac{4t^2 + 4t - 4t - 4 + 4}{t + 1} dt = \int (4t - 4 + \dfrac{4}{t + 1}) dt$$
步骤 6：计算积分
计算多项式和有理函数的积分，得到
$$\int (4t - 4 + \dfrac{4}{t + 1}) dt = 2t^2 - 4t + 4\ln|t + 1| + C$$
步骤 7：回代
将 $t = \sqrt[4]{x}$ 代入，得到
$$2t^2 - 4t + 4\ln|t + 1| + C = 2\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} + 4\ln|\sqrt[4]{x} + 1| + C$$
令 $\sqrt[4]{x} = t$，则 $x = t^4$，从而 $dx = 4t^3 dt$。
步骤 2：代入
将 $x = t^4$ 和 $dx = 4t^3 dt$ 代入原积分，得到
$$\int \dfrac{1}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}} dx = \int \dfrac{4t^3}{t^2 + t} dt$$
步骤 3：化简
化简被积函数，得到
$$\int \dfrac{4t^3}{t^2 + t} dt = \int \dfrac{4t^2}{t + 1} dt$$
步骤 4：分部积分
将被积函数分解为多项式和有理函数，得到
$$\int \dfrac{4t^2}{t + 1} dt = \int \dfrac{4t^2 + 4t - 4t - 4 + 4}{t + 1} dt$$
步骤 5：分项积分
将积分分解为多项式和有理函数的积分，得到
$$\int \dfrac{4t^2 + 4t - 4t - 4 + 4}{t + 1} dt = \int (4t - 4 + \dfrac{4}{t + 1}) dt$$
步骤 6：计算积分
计算多项式和有理函数的积分，得到
$$\int (4t - 4 + \dfrac{4}{t + 1}) dt = 2t^2 - 4t + 4\ln|t + 1| + C$$
步骤 7：回代
将 $t = \sqrt[4]{x}$ 代入，得到
$$2t^2 - 4t + 4\ln|t + 1| + C = 2\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} + 4\ln|\sqrt[4]{x} + 1| + C$$