12-10 两根平行长直导线,横截面的半径都是a,中心线相距d,属于同一回路。设两-|||-导线内部的磁通都略去不计,证明:这样一对导线单位长度上的自感系数为-|||-=dfrac (mu o)(pi )ln dfrac (d-a)(a)

步骤 1：确定磁感强度
两根平行长直导线中通有方向相反的电流I，根据安培环路定理，两导线间任意一点的磁感强度大小为：
$$
B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} - \frac{\mu_0 I}{2\pi (d-r)}
$$
其中，r为该点到其中一根导线中心线的距离，d为两导线中心线之间的距离。

步骤 2：计算磁通量
考虑两导线间长为l的一段，其面积为l(d-2a)，穿过该面积的磁通量为：
$$
\Phi = \int_{a}^{d-a} B \cdot l \, dr = \int_{a}^{d-a} \left( \frac{\mu_0 I}{2\pi r} - \frac{\mu_0 I}{2\pi (d-r)} \right) l \, dr
$$
$$
\Phi = \frac{\mu_0 I l}{2\pi} \int_{a}^{d-a} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{d-r} \right) dr
$$
$$
\Phi = \frac{\mu_0 I l}{2\pi} \left[ \ln r - \ln (d-r) \right]_{a}^{d-a}
$$
$$
\Phi = \frac{\mu_0 I l}{2\pi} \left[ \ln \frac{d-a}{a} \right]
$$

步骤 3：计算自感系数
自感系数L定义为单位长度上的磁通量与电流的比值，即：
$$
L = \frac{\Phi}{I l} = \frac{\mu_0}{2\pi} \ln \frac{d-a}{a}
$$
由于题目要求单位长度上的自感系数，所以最终结果为：
$$
L = \frac{\mu_0}{\pi} \ln \frac{d-a}{a}
$$