(2) lim _(xarrow infty )dfrac (arctan x)(x).

考查要点：本题主要考查反三角函数$\arctan x$的极限性质以及无穷小量与无穷大量比值的极限计算。

解题核心思路：

1. 明确$\arctan x$的渐进行为：当$x \rightarrow +\infty$时，$\arctan x \rightarrow \dfrac{\pi}{2}$，即分子趋于常数。
2. 分析分母的增长趋势：分母$x$趋于$+\infty$，因此整体形式为“常数/无穷大”。
3. 直接应用极限运算法则：常数除以无穷大结果为$0$。

破题关键点：

• 抓住分子的渐近值：$\arctan x$在$x \rightarrow +\infty$时的极限是$\dfrac{\pi}{2}$，而非继续增长。
• 避免混淆函数关系：注意$\arctan x$与$\tan x$的不同行为，避免误用互为反函数的关系。

步骤1：分析分子$\arctan x$的极限
当$x \rightarrow +\infty$时，$\arctan x$的极限为$\dfrac{\pi}{2}$，即：
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \arctan x = \dfrac{\pi}{2}.$

步骤2：分析分母$x$的极限
当$x \rightarrow +\infty$时，分母$x$趋于无穷大：
$\lim_{x \rightarrow +\infty} x = +\infty.$

步骤3：计算整体极限
将分子和分母的极限代入原式：
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\arctan x}{x} = \dfrac{\dfrac{\pi}{2}}{+\infty} = 0.$

验证方法（洛必达法则）
原式为$\dfrac{\infty}{\infty}$型不定式，可对分子分母分别求导：
$\lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\dfrac{d}{dx}(\arctan x)}{\dfrac{d}{dx}(x)} = \lim_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\dfrac{1}{1+x^2}}{1} = \dfrac{1}{+\infty} = 0.$