题目
5.设随机变量(UND,Y)服从区域 = (x,y)|0lt xlt 1,|y|lt x 上的均匀分布.-|||-(1)分别求关于X及关于Y的边缘密度函数fx(x)和fy (y);-|||-(2)问X,Y是否相互独立?请说明理由;-|||-(3)求 =x+y 的概率密度函数f2 (z).
题目解答
答案
解析
步骤 1：求联合密度函数
由于随机变量(X,Y)服从区域 $D=\{ (x,y)|0\lt x\lt 1,|y|\lt x\} $ 上的均匀分布，首先需要求出联合密度函数 $f(x,y)$。区域 $D$ 的面积为 $\int_{0}^{1} 2x dx = 1$，因此联合密度函数为 $f(x,y) = 1$，当 $(x,y) \in D$，否则为 $0$。
步骤 2：求边缘密度函数 $f_X(x)$
边缘密度函数 $f_X(x)$ 可以通过联合密度函数 $f(x,y)$ 对 $y$ 积分得到。由于 $|y| < x$，所以 $y$ 的积分范围为 $-x$ 到 $x$。因此，$f_X(x) = \int_{-x}^{x} f(x,y) dy = \int_{-x}^{x} 1 dy = 2x$，当 $0 < x < 1$，否则为 $0$。
步骤 3：求边缘密度函数 $f_Y(y)$
边缘密度函数 $f_Y(y)$ 可以通过联合密度函数 $f(x,y)$ 对 $x$ 积分得到。由于 $|y| < x$，所以 $x$ 的积分范围为 $|y|$ 到 $1$。因此，$f_Y(y) = \int_{|y|}^{1} f(x,y) dx = \int_{|y|}^{1} 1 dx = 1 - |y|$，当 $-1 < y < 1$，否则为 $0$。
步骤 4：判断X,Y是否相互独立
两个随机变量X和Y相互独立的充要条件是它们的联合密度函数等于它们的边缘密度函数的乘积，即 $f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$。由于 $f(x,y) = 1$，而 $f_X(x) \cdot f_Y(y) = 2x(1 - |y|)$，显然 $f(x,y) \neq f_X(x) \cdot f_Y(y)$，因此X和Y不相互独立。
步骤 5：求Z=X+Y的概率密度函数 $f_Z(z)$
为了求 $Z=X+Y$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$，可以使用卷积公式。$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx$。由于 $f_X(x) = 2x$，$f_Y(y) = 1 - |y|$，因此 $f_Z(z) = \int_{0}^{1} 2x (1 - |z-x|) dx$。根据 $z$ 的取值范围，可以分为 $0 < z \leq 1$ 和 $1 < z \leq 2$ 两种情况。当 $0 < z \leq 1$ 时，$f_Z(z) = \int_{0}^{z} 2x (1 - (z-x)) dx + \int_{z}^{1} 2x (1 - (x-z)) dx = z^2/2$。当 $1 < z \leq 2$ 时，$f_Z(z) = \int_{z-1}^{1} 2x (1 - (x-z)) dx = 2 - z + (z-1)^2/2$。当 $z \leq 0$ 或 $z > 2$ 时，$f_Z(z) = 0$。
由于随机变量(X,Y)服从区域 $D=\{ (x,y)|0\lt x\lt 1,|y|\lt x\} $ 上的均匀分布，首先需要求出联合密度函数 $f(x,y)$。区域 $D$ 的面积为 $\int_{0}^{1} 2x dx = 1$，因此联合密度函数为 $f(x,y) = 1$，当 $(x,y) \in D$，否则为 $0$。
步骤 2：求边缘密度函数 $f_X(x)$
边缘密度函数 $f_X(x)$ 可以通过联合密度函数 $f(x,y)$ 对 $y$ 积分得到。由于 $|y| < x$，所以 $y$ 的积分范围为 $-x$ 到 $x$。因此，$f_X(x) = \int_{-x}^{x} f(x,y) dy = \int_{-x}^{x} 1 dy = 2x$，当 $0 < x < 1$，否则为 $0$。
步骤 3：求边缘密度函数 $f_Y(y)$
边缘密度函数 $f_Y(y)$ 可以通过联合密度函数 $f(x,y)$ 对 $x$ 积分得到。由于 $|y| < x$，所以 $x$ 的积分范围为 $|y|$ 到 $1$。因此，$f_Y(y) = \int_{|y|}^{1} f(x,y) dx = \int_{|y|}^{1} 1 dx = 1 - |y|$，当 $-1 < y < 1$，否则为 $0$。
步骤 4：判断X,Y是否相互独立
两个随机变量X和Y相互独立的充要条件是它们的联合密度函数等于它们的边缘密度函数的乘积，即 $f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$。由于 $f(x,y) = 1$，而 $f_X(x) \cdot f_Y(y) = 2x(1 - |y|)$，显然 $f(x,y) \neq f_X(x) \cdot f_Y(y)$，因此X和Y不相互独立。
步骤 5：求Z=X+Y的概率密度函数 $f_Z(z)$
为了求 $Z=X+Y$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$，可以使用卷积公式。$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) f_Y(z-x) dx$。由于 $f_X(x) = 2x$，$f_Y(y) = 1 - |y|$，因此 $f_Z(z) = \int_{0}^{1} 2x (1 - |z-x|) dx$。根据 $z$ 的取值范围，可以分为 $0 < z \leq 1$ 和 $1 < z \leq 2$ 两种情况。当 $0 < z \leq 1$ 时，$f_Z(z) = \int_{0}^{z} 2x (1 - (z-x)) dx + \int_{z}^{1} 2x (1 - (x-z)) dx = z^2/2$。当 $1 < z \leq 2$ 时，$f_Z(z) = \int_{z-1}^{1} 2x (1 - (x-z)) dx = 2 - z + (z-1)^2/2$。当 $z \leq 0$ 或 $z > 2$ 时，$f_Z(z) = 0$。