11. (5.0分) (d)/(dx)int_(1)^x^(2)sin tdt= （ ）A. 2xsin x²B. sint²C. sin x²D. 2tsint²

考查要点：本题主要考查变上限积分的求导法则，即微积分基本定理的应用，以及链式法则的使用。

解题核心思路：

1. 识别积分上限为关于$x$的函数（本题中为$x^2$），需结合链式法则求导。
2. 直接应用变上限积分求导公式：若$F(x) = \int_{a}^{u(x)} f(t) dt$，则$F'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x)$。
3. 验证方法：先计算定积分再对结果求导，验证答案的一致性。

破题关键点：

• 正确应用变上限积分求导公式，注意积分上限$x^2$的导数为$2x$。
• 排除干扰项：注意积分变量$t$在积分后已被消去，结果应仅与$x$相关。

设$F(x) = \int_{1}^{x^2} \sin t \, dt$，根据变上限积分求导法则：
$F'(x) = \sin(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \sin(x^2) \cdot 2x = 2x \sin(x^2).$

验证过程：

1. 计算定积分：
   $\int_{1}^{x^2} \sin t \, dt = -\cos(x^2) + \cos(1).$
2. 对结果求导：
   $\frac{d}{dx} \left( -\cos(x^2) + \cos(1) \right) = \sin(x^2) \cdot 2x = 2x \sin(x^2).$
   两种方法均得到相同结果，说明答案正确。