题目
13.(单选题,3.0分)-|||-曲面 z=f(x,y) 在点(x0,y0,z0)处的切平面法向量与Z轴夹角为锐角,则该法向量方向余弦中的cosy等于 ()-|||-A A dfrac (1)(sqrt {{{f)_(x)}^2((x)_(0),(y)_(0))+({f)_(y)}^2((x)_(0),(y)_(0))+1}}-|||-B 1-|||-C -1-|||-D dfrac (-1)(sqrt {{{f)_(x)}^2((x)_(0),(y)_(0))+(f)_({x)^2}((x)_(0)(y)_(0))+1}} √h
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定切平面法向量
曲面 z=f(x,y) 在点 (x0,y0,z0) 处的切平面法向量为 (fx(x0,y0), fy(x0,y0), -1)。这是因为曲面的法向量由其偏导数确定，且 z 方向的分量为 -1，以确保法向量与曲面垂直。
步骤 2：计算方向余弦
方向余弦是向量与坐标轴夹角的余弦值。对于法向量 (fx(x0,y0), fy(x0,y0), -1)，其与 z 轴的夹角的余弦值为：
cosy = $\dfrac{-1}{\sqrt{{f_x}^2(x_0,y_0) + {f_y}^2(x_0,y_0) + 1}}$。
这里，分母是法向量的模长，分子是 z 轴方向的分量。
步骤 3：确定夹角为锐角
题目中提到法向量与 z 轴夹角为锐角，这意味着 cosy 的值应为正。因此，我们需要取正值，即：
cosy = $\dfrac{1}{\sqrt{{f_x}^2(x_0,y_0) + {f_y}^2(x_0,y_0) + 1}}$。
曲面 z=f(x,y) 在点 (x0,y0,z0) 处的切平面法向量为 (fx(x0,y0), fy(x0,y0), -1)。这是因为曲面的法向量由其偏导数确定，且 z 方向的分量为 -1，以确保法向量与曲面垂直。
步骤 2：计算方向余弦
方向余弦是向量与坐标轴夹角的余弦值。对于法向量 (fx(x0,y0), fy(x0,y0), -1)，其与 z 轴的夹角的余弦值为：
cosy = $\dfrac{-1}{\sqrt{{f_x}^2(x_0,y_0) + {f_y}^2(x_0,y_0) + 1}}$。
这里，分母是法向量的模长，分子是 z 轴方向的分量。
步骤 3：确定夹角为锐角
题目中提到法向量与 z 轴夹角为锐角，这意味着 cosy 的值应为正。因此，我们需要取正值，即：
cosy = $\dfrac{1}{\sqrt{{f_x}^2(x_0,y_0) + {f_y}^2(x_0,y_0) + 1}}$。