【题目】21.设y=y(x)是由方程2y-x=(x-y)ln(x-y)确定的隐函数,求dy.

考查要点：本题主要考查隐函数求微分的方法，特别是利用一阶微分形式的不变性对方程两边进行微分的能力，以及对乘积法则和链式法则的综合应用。

解题核心思路：

1. 对等式两边同时求微分，将y视为x的函数，正确应用微分规则。
2. 整理微分方程，将含有dy的项移到等式一侧，含有dx的项移到另一侧。
3. 解出dy/dx，最终表达式需仅含x和y的显式表达。

破题关键点：

• 正确处理复合函数的微分：对右边的乘积项$(x-y)\ln(x-y)$，需同时应用乘积法则和链式法则。
• 合并同类项时注意系数的代数运算，避免符号错误。

步骤1：对等式两边求微分
原方程：
$2y - x = (x - y)\ln(x - y)$
对两边同时求微分，记$u = x - y$，则$du = dx - dy$，右边可表示为$u \ln u$。
根据乘积法则和链式法则：
$\begin{aligned}\text{左边微分} & : 2dy - dx \\\text{右边微分} & : d(u \ln u) = du \cdot \ln u + u \cdot \frac{1}{u} du = du (\ln u + 1) \\& = (dx - dy)(\ln(x - y) + 1)\end{aligned}$

步骤2：联立微分方程
将左右两边的微分结果联立：
$2dy - dx = (dx - dy)(\ln(x - y) + 1)$

步骤3：展开并整理方程
展开右边：
$2dy - dx = (\ln(x - y) + 1)dx - (\ln(x - y) + 1)dy$
将所有含$dy$的项移到左边，含$dx$的项移到右边：
$2dy + (\ln(x - y) + 1)dy = (\ln(x - y) + 1)dx + dx$

步骤4：合并同类项
左边系数合并：
$[2 + \ln(x - y) + 1]dy = [3 + \ln(x - y)]dy$
右边系数合并：
$[\ln(x - y) + 1 + 1]dx = [2 + \ln(x - y)]dx$

步骤5：解出$dy$
最终得到：
$dy = \frac{2 + \ln(x - y)}{3 + \ln(x - y)} dx$