题目
如图,阴影部分的面积是() ()-|||-y^2=2x-|||-中-|||-x-|||-bigcirc A.16-|||-bigcirc B.18-|||-bigcirc C.20-|||-bigcirc D.22
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线交点
根据题目中的方程组 $\left \{ \begin{matrix} {y}^{2}=2x,\\ y=x-4\end{matrix} \right.$，我们首先解这个方程组以找到曲线的交点。将 $y=x-4$ 代入 $y^2=2x$，得到 $(x-4)^2=2x$，即 $x^2-8x+16=2x$，进一步化简为 $x^2-10x+16=0$。解这个二次方程，得到 $x=2$ 或 $x=8$。对应的 $y$ 值分别为 $y=-2$ 和 $y=4$。因此，曲线的交点为 $(-2, 4)$ 和 $(4, -2)$。
步骤 2：计算阴影部分的面积
阴影部分的面积可以通过计算两个函数 $y=x-4$ 和 $y^2=2x$ 在 $x$ 轴上的积分差来得到。由于 $y^2=2x$ 可以表示为 $x=\frac{1}{2}y^2$，因此阴影部分的面积 $S$ 可以表示为 $S={\int }_{-2}^{4}(y+4-\frac{1}{2}y^2)dy$。计算这个积分，得到 $S=(\frac{1}{2}y^2+4y-\frac{1}{6}y^3)|_{-2}^{4}$。将上下限代入，得到 $S=(8+16-\frac{32}{3})-(2-8+\frac{8}{3})=18$。
根据题目中的方程组 $\left \{ \begin{matrix} {y}^{2}=2x,\\ y=x-4\end{matrix} \right.$，我们首先解这个方程组以找到曲线的交点。将 $y=x-4$ 代入 $y^2=2x$，得到 $(x-4)^2=2x$，即 $x^2-8x+16=2x$，进一步化简为 $x^2-10x+16=0$。解这个二次方程，得到 $x=2$ 或 $x=8$。对应的 $y$ 值分别为 $y=-2$ 和 $y=4$。因此，曲线的交点为 $(-2, 4)$ 和 $(4, -2)$。
步骤 2：计算阴影部分的面积
阴影部分的面积可以通过计算两个函数 $y=x-4$ 和 $y^2=2x$ 在 $x$ 轴上的积分差来得到。由于 $y^2=2x$ 可以表示为 $x=\frac{1}{2}y^2$，因此阴影部分的面积 $S$ 可以表示为 $S={\int }_{-2}^{4}(y+4-\frac{1}{2}y^2)dy$。计算这个积分，得到 $S=(\frac{1}{2}y^2+4y-\frac{1}{6}y^3)|_{-2}^{4}$。将上下限代入，得到 $S=(8+16-\frac{32}{3})-(2-8+\frac{8}{3})=18$。