题目
设方阵有一个特征值为，则必有一个特征值为（）
设方阵
有一个特征值为
，则
必有一个特征值为（）
题目解答
答案
由特征值的性质得
∵
∴
即必有一个特征值
解析
步骤 1：理解特征值的性质
特征值的性质之一是，如果$\lambda$是矩阵$A$的特征值，那么$\lambda^2$是矩阵$A^2$的特征值。此外，如果$\lambda$是矩阵$A$的特征值，那么$\lambda - 1$是矩阵$A - E$的特征值，其中$E$是单位矩阵。
步骤 2：应用特征值的性质
已知矩阵$A$有一个特征值为$3$，即$\lambda = 3$。根据特征值的性质，$A^2$的特征值为$\lambda^2 = 3^2 = 9$。因此，矩阵$A^2 - E$的特征值为$9 - 1 = 8$。
步骤 3：得出结论
根据上述分析，矩阵${A}^{2}-E$必有一个特征值为$8$。
特征值的性质之一是，如果$\lambda$是矩阵$A$的特征值，那么$\lambda^2$是矩阵$A^2$的特征值。此外，如果$\lambda$是矩阵$A$的特征值，那么$\lambda - 1$是矩阵$A - E$的特征值，其中$E$是单位矩阵。
步骤 2：应用特征值的性质
已知矩阵$A$有一个特征值为$3$，即$\lambda = 3$。根据特征值的性质，$A^2$的特征值为$\lambda^2 = 3^2 = 9$。因此，矩阵$A^2 - E$的特征值为$9 - 1 = 8$。
步骤 3：得出结论
根据上述分析，矩阵${A}^{2}-E$必有一个特征值为$8$。