题目

若int f(x)dx=e^-x+C，则f(x)=____.

若$\int f(x)dx=e^{-x}+C$，则f(x)=____.

题目解答

答案

对等式 $\int f(x) \, dx = e^{-x} + C$ 两边求导，利用不定积分与求导互逆性质，得： \[ f(x) = \frac{d}{dx} \left( e^{-x} + C \right) = -e^{-x} \] （其中常数 $C$ 的导数为0，$e^{-x}$ 的导数为 $-e^{-x}$）。 **答案：** $\boxed{-e^{-x}}$

解析

考查要点：本题主要考查不定积分与导数的互逆关系，即通过已知积分结果求原函数的能力。

解题核心思路：根据不定积分的定义，若$\int f(x) \, dx = F(x) + C$，则$f(x)$是$F(x)$的导数。因此，对等式两边求导即可直接得到$f(x)$。

破题关键点：

  1. 明确积分与导数的互逆性：积分运算和求导运算是互为逆运算的。
  2. 正确计算导数：对$e^{-x}$求导时，注意链式法则的应用，结果为$-e^{-x}$。

已知$\int f(x) \, dx = e^{-x} + C$，要求$f(x)$，步骤如下：

  1. 对等式两边求导
    根据不定积分的定义，对积分结果求导可得原函数：
    $\frac{d}{dx} \left( \int f(x) \, dx \right) = \frac{d}{dx} \left( e^{-x} + C \right)$
    左侧简化为$f(x)$，右侧对$e^{-x}$和常数$C$分别求导。

  2. 计算右侧导数

    • $e^{-x}$的导数为$-e^{-x}$（链式法则：导数为$-1 \cdot e^{-x}$）。
    • 常数$C$的导数为$0$。
      因此：
      $f(x) = -e^{-x} + 0 = -e^{-x}$