题目
14、填空 设D:0le xle a,-ale yle a,当n为奇数时，iintlimits_(D)x^my^ndxdy=____.
14、填空 设$D:0\le x\le a,-a\le y\le a,$当n为奇数时，$\iint\limits_{D}x^{m}y^{n}dxdy=$____.
题目解答
答案
为了求解二重积分 $\iint\limits_{D} x^m y^n \, dx \, dy$，其中 $D: 0 \le x \le a, -a \le y \le a$，且 $n$ 为奇数，我们可以按照以下步骤进行：
1. **将二重积分化为累次积分**:
\[
\iint\limits_{D} x^m y^n \, dx \, dy = \int_{0}^{a} \int_{-a}^{a} x^m y^n \, dy \, dx.
\]
2. **先对 $y$ 积分**:
\[
\int_{-a}^{a} x^m y^n \, dy.
\]
注意到 $x^m$ 是关于 $x$ 的函数，相对于 $y$ 来说是一个常数，因此可以提到积分号外面:
\[
\int_{-a}^{a} x^m y^n \, dy = x^m \int_{-a}^{a} y^n \, dy.
\]
3. **计算 $\int_{-a}^{a} y^n \, dy$**:
由于 $n$ 是奇数，函数 $y^n$ 是奇函数（即 $f(-y) = (-y)^n = -y^n = -f(y)$）。奇函数在对称区间 $[-a, a]$ 上的积分等于零:
\[
\int_{-a}^{a} y^n \, dy = 0.
\]
4. **将结果代回累次积分**:
\[
x^m \int_{-a}^{a} y^n \, dy = x^m \cdot 0 = 0.
\]
5. **对 $x$ 积分**:
\[
\int_{0}^{a} 0 \, dx = 0.
\]
因此，二重积分 $\iint\limits_{D} x^m y^n \, dx \, dy$ 的值为 $\boxed{0}$。
解析
本题考查二重积分的计算，解题思路是先将二重积分化为累次积分，再根据积分区域和被积函数的特点进行计算。
- 将二重积分化为累次积分：
根据积分区域$D:0\le x\le a,-a\le y\le a$，将二重积分$\iint\limits_{D}x^{m}y^{n}dxdy$化为累次积分$\int_{0}^{a} \int_{-a}^{a} x^m y^n \, dy \, dx$。 - 先对$y$积分：
在$\int_{-a}^{a} x^m y^n \, dy$中，$x^m$相对于$y$是常数，可提到积分号外面，得到$x^m \int_{-a}^{a} y^n \, dy$。 - 计算$\int_{-a}^{a} y^n \, dy$：
因为$n$为奇数，所以函数$y^n$是奇函数，即$f(-y) = (-y)^n = -y^n = -f(y)$。
根据奇函数在对称区间$[-a, a]$上的积分性质，可得$\int_{-a}^{a} y^n \, dy = 0$。 - 将结果代回累次积分：
把$\int_{-a}^{a} y^n \, dy = 0$代入$x^m \int_{-a}^{a} y^n \, dy$，得到$x^m \cdot 0 = 0$。 - 对$x$积分：
计算$\int_{0}^{a} 0 \, dx$，根据定积分的性质，常数$0$在区间$[0, a]$上的积分结果为$0$，即$\int_{0}^{a} 0 \, dx = 0$。