6、二次型f(x_(1),x_(2),x_(3))=x_(1)^2+2x_(2)x_(3)的正惯性指数为（）.A. 1B. 2C. 3D. 0

本题考查二次型正惯性指数的概念及求解方法。解题思路是通过配方法将二次型化为标准形，然后根据标准形中正平方项的个数确定正惯性指数。

下面我们使用配方法来求解二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+2x_{2}x_{3}$的标准形：
令$\begin{cases}x_{1}=y_{1}\\x_{2}=y_{2}+y_{3}\\x_{3}=y_{2}-y_{3}\end{cases}$，将其代入二次型$f(x_{1},x_{2},x_{3})$中：
$\begin{align*}f(x_{1},x_{2},x_{3})&=x_{1}^{2}+2x_{2}x_{3}\\&=y_{1}^{2}+2(y_{2}+y_{3})(y_{2}-y_{3})\\&=y_{1}^{2}+2(y_{2}^{2}-y_{3}^{2})\\&=y_{1}^{2}+2y_{2}^{2}-2y_{3}^{2}\end{align*}$
在标准形$f = y_{1}^{2}+2y_{2}^{2}-2y_{3}^{2}$中，正平方项的个数为$2$个，根据正惯性指数的定义，二次型的正惯性指数就是其标准形中正平方项的个数，所以该二次型的正惯性指数为$2$。