题目
10 若 f(x)= int_(0)^2xf((t)/(2))dt+4, 则 int_(0)^pi f(x) sin xdx= ___.
10 若 $f(x)= \int_{0}^{2x}f(\frac{t}{2})dt+4,$ 则 $ \int_{0}^{\pi }f(x) \sin xdx=$ ___.
题目解答
答案
为了解决给定的问题，我们首先分析函数 $ f(x) $ 的方程：
\[ f(x) = \int_{0}^{2x} f\left( \frac{t}{2} \right) \, dt + 4. \]
首先，我们对 $ x $ 求导方程的两边。使用微积分基本定理，我们得到：
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{2x} f\left( \frac{t}{2} \right) \, dt \right) + \frac{d}{dx} (4) = 2 f(x). \]
因此，我们有微分方程：
\[ f'(x) = 2 f(x). \]
这是一个一阶线性微分方程，可以使用分离变量法求解。我们将方程重写为：
\[ \frac{f'(x)}{f(x)} = 2. \]
对两边关于 $ x $ 积分，我们得到：
\[ \int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \int 2 \, dx, \]
这简化为：
\[ \ln |f(x)| = 2x + C, \]
其中 $ C $ 是积分常数。对两边取指数，我们得到：
\[ f(x) = e^{2x + C} = A e^{2x}, \]
其中 $ A = e^C $。为了找到 $ A $ 的值，我们使用 $ f(x) $ 的原始方程。将 $ x = 0 $ 代入原始方程，我们得到：
\[ f(0) = \int_{0}^{0} f\left( \frac{t}{2} \right) \, dt + 4 = 4. \]
由于 $ f(0) = A e^{0} = A $，我们有：
\[ A = 4. \]
因此，函数 $ f(x) $ 是：
\[ f(x) = 4 e^{2x}. \]
接下来，我们需要找到积分 $ \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \, dx $。将 $ f(x) = 4 e^{2x} $ 代入积分，我们得到：
\[ \int_{0}^{\pi} 4 e^{2x} \sin x \, dx. \]
我们可以从积分中提取常数 4：
\[ 4 \int_{0}^{\pi} e^{2x} \sin x \, dx. \]
为了计算 $ \int_{0}^{\pi} e^{2x} \sin x \, dx $，我们使用分部积分法。设 $ u = \sin x $ 和 $ dv = e^{2x} \, dx $。那么 $ du = \cos x \, dx $ 和 $ v = \frac{1}{2} e^{2x} $。使用分部积分法的公式 $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $，我们得到：
\[ \int e^{2x} \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \int \frac{1}{2} e^{2x} \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \int e^{2x} \cos x \, dx. \]
现在，我们需要再次使用分部积分法来计算 $ \int e^{2x} \cos x \, dx $。设 $ u = \cos x $ 和 $ dv = e^{2x} \, dx $。那么 $ du = -\sin x \, dx $ 和 $ v = \frac{1}{2} e^{2x} $。使用分部积分法的公式，我们得到：
\[ \int e^{2x} \cos x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x - \int \frac{1}{2} e^{2x} (-\sin x) \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} \int e^{2x} \sin x \, dx. \]
将这个结果代回前一个方程，我们得到：
\[ \int e^{2x} \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} e^{2x} \cos x + \frac{1}{2} \int e^{2x} \sin x \, dx \right) = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x - \frac{1}{4} \int e^{2x} \sin x \, dx. \]
重新排列项，我们得到：
\[ \int e^{2x} \sin x \, dx + \frac{1}{4} \int e^{2x} \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x, \]
\[ \frac{5}{4} \int e^{2x} \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x, \]
\[ \int e^{2x} \sin x \, dx = \frac{4}{5} \left( \frac{1}{2} e^{2x} \sin x - \frac{1}{4} e^{2x} \cos x \right) = \frac{2}{5} e^{2x} \sin x - \frac{1}{5} e^{2x} \cos x. \]
从 $ x = 0 $ 到 $ x = \pi $ 评估这个积分，我们得到：
\[ \int_{0}^{\pi} e^{2x} \sin x \, dx = \left[ \frac{2}{5} e^{2x} \sin x - \frac{1}{5} e^{2x} \cos x \right]_{0}^{\pi} = \left( \frac{2}{5} e^{2\pi} \sin \pi - \frac{1}{5} e^{2\pi} \cos \pi \right) - \left( \frac{2}{5} e^{0} \sin 0 - \frac{1}{5} e^{0} \cos 0 \right) = \left( 0 + \frac{1}{5} e^{2\pi} \right) - \left( 0 - \frac{1}{5} \right) = \frac{1}{5} e^{2\pi} + \frac{1}{5} = \frac{1}{5} (e^{2\pi} + 1). \]
因此，原始积分是：
\[ 4 \int_{0}^{\pi} e^{2x} \sin x \, dx = 4 \cdot \frac{1}{5} (e^{2\pi} + 1) = \frac{4}{5} (e^{2\pi} + 1). \]
最终答案是：
\[ \boxed{\frac{4}{5} (e^{2\pi} + 1)}. \]
解析
考查要点：本题主要考查积分方程与微分方程的转换、微分方程的求解，以及分部积分法的应用。
解题核心思路：
- 将积分方程转化为微分方程：通过对等式两边关于$x$求导，消去积分号，得到微分方程$f'(x) = 2f(x)$。
- 求解微分方程：利用分离变量法求得通解$f(x) = Ae^{2x}$，再通过代入初始条件$f(0) = 4$确定常数$A$。
- 计算定积分：将$f(x)$代入目标积分，通过两次分部积分法求解。
破题关键点：
- 求导消积分：利用变上限积分的求导法则，快速将积分方程转化为微分方程。
- 分部积分法：对指数函数与三角函数的乘积积分，需两次分部积分并联立方程求解。
步骤1：求解微分方程确定$f(x)$
-
对原方程求导：
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \int_{0}^{2x} f\left( \frac{t}{2} \right) dt \right) = 2f(x)$
（根据变上限积分求导法则，导数为被积函数在上限处的值乘以上限的导数） -
解微分方程：
$\frac{df}{dx} = 2f \implies \frac{df}{f} = 2dx \implies \ln|f| = 2x + C \implies f(x) = Ae^{2x}$ -
确定常数$A$：
代入原方程$x=0$时：
$f(0) = \int_{0}^{0} f\left( \frac{t}{2} \right) dt + 4 = 4 \implies A = 4$
因此，$f(x) = 4e^{2x}$。
步骤2：计算积分$\int_{0}^{\pi} f(x)\sin x dx$
-
代入$f(x)$：
$\int_{0}^{\pi} 4e^{2x}\sin x dx = 4 \int_{0}^{\pi} e^{2x}\sin x dx$ -
分部积分法：
- 第一次分部积分：
$\int e^{2x}\sin x dx = \frac{1}{2}e^{2x}\sin x - \frac{1}{2}\int e^{2x}\cos x dx$ - 第二次分部积分：
$\int e^{2x}\cos x dx = \frac{1}{2}e^{2x}\cos x + \frac{1}{2}\int e^{2x}\sin x dx$ - 联立方程：
$\int e^{2x}\sin x dx = \frac{2}{5}e^{2x}\sin x - \frac{1}{5}e^{2x}\cos x$
- 第一次分部积分：
-
代入上下限：
$\int_{0}^{\pi} e^{2x}\sin x dx = \frac{1}{5}(e^{2\pi} + 1)$ -
最终结果：
$4 \cdot \frac{1}{5}(e^{2\pi} + 1) = \frac{4}{5}(e^{2\pi} + 1)$