题目

1.2022数二15已知曲线L的极坐标方程为r=sin3theta(0lethetale(pi)/(3))，则L围成有界区域的面积为____.

1.2022数二15 已知曲线L的极坐标方程为$r=\sin3\theta(0\le\theta\le\frac{\pi}{3})$，则L围成有界区域的面积为____.

题目解答

答案

由极坐标面积公式，曲线 $ r = \sin 3\theta $（$ 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3} $）围成的面积 $ A $ 为： \[ A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sin 3\theta)^2 \, d\theta \] 利用恒等式 $ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} $，得： \[ A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1 - \cos 6\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos 6\theta) \, d\theta \] 计算积分： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos 6\theta) \, d\theta = \left[ \theta - \frac{\sin 6\theta}{6} \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} \] 因此： \[ A = \frac{1}{4} \times \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{12} \] **答案：** $\boxed{\frac{\pi}{12}}$

解析

考查要点：本题主要考查极坐标系下计算曲线围成区域面积的方法，以及三角函数积分的计算技巧。

解题核心思路：

极坐标面积公式：利用公式 $A = \frac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} r^2 \, d\theta$，将曲线方程代入公式直接计算。
三角恒等式简化：通过 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ 将被积函数转化为易积分的形式。
定积分计算：注意积分上下限对应的角度范围，正确代入计算。

破题关键点：

正确应用极坐标面积公式，明确积分上下限。
灵活使用三角恒等式简化被积函数，避免直接积分带来的复杂计算。
准确计算定积分，注意角度范围内的三角函数值。

步骤1：写出极坐标面积公式
根据极坐标面积公式，曲线 $r = \sin 3\theta$ 在 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}$ 内围成的面积为：
$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sin 3\theta)^2 \, d\theta$

步骤2：简化被积函数
利用三角恒等式 $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$，令 $x = 3\theta$，则：
$(\sin 3\theta)^2 = \frac{1 - \cos 6\theta}{2}$

步骤3：代入并展开积分
将恒等式代入面积公式：
$A = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1 - \cos 6\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos 6\theta) \, d\theta$

步骤4：计算定积分
分别对 $1$ 和 $\cos 6\theta$ 积分：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos 6\theta) \, d\theta = \left[ \theta - \frac{\sin 6\theta}{6} \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}$

步骤5：代入上下限
当 $\theta = \frac{\pi}{3}$ 时，$6\theta = 2\pi$，$\sin 2\pi = 0$；当 $\theta = 0$ 时，$\sin 0 = 0$。因此：
$\left[ \frac{\pi}{3} - \frac{\sin 2\pi}{6} \right] - \left[ 0 - \frac{\sin 0}{6} \right] = \frac{\pi}{3}$

步骤6：求最终面积
将积分结果代入面积公式：
$A = \frac{1}{4} \times \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{12}$