3.设随机变量X~U(0,5),求Y=3X+2的概率密度.

考查要点：本题主要考查均匀分布的概率密度函数以及函数变换法求概率密度的应用。

解题核心思路：

1. 确定原变量X的概率密度函数：X服从均匀分布U(0,5)，其密度函数在区间[0,5]内为常数$\frac{1}{5}$，其他区域为0。
2. 分析变换关系：Y是X的线性函数$Y=3X+2$，需通过反函数法求Y的密度函数。
3. 应用概率密度变换公式：利用公式$f_Y(y) = f_X(g^{-1}(y)) \cdot \left| \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right|$，其中$g^{-1}(y)$是Y关于X的反函数。

破题关键点：

• 确定Y的取值范围：根据X的范围[0,5]，推导出Y的范围[2,17]。
• 正确计算反函数的导数：反函数为$x = \frac{y-2}{3}$，导数为$\frac{1}{3}$。

步骤1：写出X的概率密度函数
X服从均匀分布U(0,5)，其概率密度函数为：
$f_X(x) = \begin{cases}\frac{1}{5}, & 0 \leq x \leq 5, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$

步骤2：确定Y的取值范围
由$Y=3X+2$，当$X=0$时，$Y=2$；当$X=5$时，$Y=17$。因此，Y的取值范围为$[2,17]$。

步骤3：求反函数及导数
将$Y=3X+2$解为X的函数：
$X = \frac{Y-2}{3}.$
对Y求导得：
$\frac{dX}{dY} = \frac{1}{3}.$

步骤4：应用概率密度变换公式
根据公式$f_Y(y) = f_X\left(\frac{y-2}{3}\right) \cdot \left|\frac{1}{3}\right|$，代入$f_X(x)$的表达式：

• 当$2 \leq y \leq 17$时，$\frac{y-2}{3}$在[0,5]内，故$f_X\left(\frac{y-2}{3}\right) = \frac{1}{5}$，因此：
  $f_Y(y) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{15}.$
• 其他情况下，$f_X\left(\frac{y-2}{3}\right) = 0$，故$f_Y(y) = 0$。