8.同时垂直与 = 1,-1,2 和 = 2,-2,2 的单位向量为 __

考查要点：本题主要考查向量的叉积运算及单位向量的求解方法。
解题思路：

1. 叉积求垂直向量：两个向量的叉积结果必然同时垂直于原向量，因此先求$a \times b$。
2. 单位化：将叉积结果归一化为单位向量，需除以模长。
   关键点：

• 叉积公式的正确应用；
• 单位向量的计算需注意正负两种可能方向。

步骤1：计算向量$a$与$b$的叉积

设$a = \{1, -1, 2\}$，$b = \{2, -2, 2\}$，则叉积为：
$a \times b = \begin{vmatrix}\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\1 & -1 & 2 \\2 & -2 & 2\end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(2) - (2)(-2)) - \mathbf{j}((1)(2) - (2)(2)) + \mathbf{k}((1)(-2) - (-1)(2))$
计算得：
$a \times b = \mathbf{i}(2) - \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(0) = \{2, 2, 0\}$

步骤2：计算叉积的模长

$\|a \times b\| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

步骤3：单位化

单位向量为：
$\frac{a \times b}{\|a \times b\|} = \left\{ \frac{2}{2\sqrt{2}}, \frac{2}{2\sqrt{2}}, 0 \right\} = \left\{ \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 0 \right\}$
注意：单位向量方向相反的向量$\left\{ -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 0 \right\}$也满足条件。