题目

在夫琅禾费单缝衍射实验中,用波长(lambda )_(1)=500nm的单色光垂直入射缝面,在焦距f=2.0 m的透镜的焦平面上观察衍射条纹,测得中央明纹的宽度为4mm.(1)求所用单缝的宽度; (2)若用(lambda )_(1)=500nm的单色光垂直入射缝面,求10级暗纹到屏中心的距离;(3)对应于10级暗纹,单缝波面被分为几个半波带？

在夫琅禾费单缝衍射实验中,用波长 $\lambda_1=500nm$ 的单色光垂直入射缝面,在焦距f=2.0 m的透镜的焦平面上观察衍射条纹,测得中央明纹的宽度为4mm.

(1)求所用单缝的宽度;

(2)若用 $\lambda_2=400nm$ 的单色光垂直入射缝面,求10级暗纹到屏中心的距离;

(3)对应于10级暗纹,单缝波面被分为几个半波带？

题目解答

答案

（1）中央明纹宽度为 $2x_1=2f\frac{\lambda_1}{a}$ ，已知 $2x_1=4\ mm，f=2.0\ m，\lambda_1=500\ nm=500\times10^{-6}\ mm$ ，可得单缝宽度 a ：

$2x_1=2f\frac{\lambda_1}{a}$

$4=2\times2000\times\frac{500\times10^{-6}}{a}$

$a=2\times2000\times\frac{500\times10^{-6}}{2\times10^{-3}}$

a = 0.1 mm

（2）暗纹条件为 $a\sin\theta=k\lambda_2，\sin\theta\approx\tan\theta=\frac{x}{f}$ ，则 $x=\frac{k\lambda_2f}{a}$ 。

k = 10 ， $\lambda_2=400\ nm=400\times10^{-6}\ mm$ ，f = 2.0 m = 2000 mm ，a = 0.1 mm ，可得 10 级暗纹到屏中心的距离 x ：

$x=\frac{10\times400\times10^{-6}\times2000}{0.1}=8\ mm$

（3）对于暗纹，单缝波面被分成的半波带数为 2k + 1 ，所以 10 级暗纹对应的半波带数为 2×10 + 1 = 21 个 .

解析

步骤 1：计算单缝宽度
根据夫琅禾费单缝衍射实验中中央明纹宽度的公式，$2{x}_{1}=2f\dfrac {{\lambda }_{1}}{a}$，其中${x}_{1}$是中央明纹的宽度，f是透镜的焦距，${\lambda }_{1}$是入射光的波长，a是单缝的宽度。已知${x}_{1}=2mm$，f=2.0m，${\lambda }_{1}=500nm=500\times {10}^{-6}mm$，代入公式求解a。
步骤 2：计算10级暗纹到屏中心的距离
根据暗纹条件$a\sin \theta =k{\lambda }_{2}$，其中k是暗纹的级数，${\lambda }_{2}$是入射光的波长，$\sin \theta \approx \tan \theta =\dfrac {x}{f}$，代入公式求解x。
步骤 3：计算单缝波面被分成的半波带数
对于暗纹，单缝波面被分成的半波带数为2k+1，其中k是暗纹的级数。代入k=10求解半波带数。