求下列集合的基数：(1) A = (r_1, r_2, ..., r_n, r, r, ...) : r, r_i in mathbb{Q) : i = 1, 2, ..., n; n = 1, 2, ...};(2) B = (varepsilon_1, varepsilon_2, ..., varepsilon_n, ...) : varepsilon_i in {0, 1, i = 1, 2, ...};(3) C = mathbb(Q)^infty = (r_1, r_2, ..., r_n, ...) : r_i in mathbb{Q), i = 1, 2, ...}.
求下列集合的基数：
(1) $A = \{(r_1, r_2, \cdots, r_n, r, r, \cdots) : r, r_i \in \mathbb{Q} : i = 1, 2, \cdots, n; n = 1, 2, \cdots\}$;
(2) $B = \{(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \cdots, \varepsilon_n, \cdots) : \varepsilon_i \in \{0, 1\}, i = 1, 2, \cdots\}$;
(3) $C = \mathbb{Q}^{\infty} = \{(r_1, r_2, \cdots, r_n, \cdots) : r_i \in \mathbb{Q}, i = 1, 2, \cdots\}$.
题目解答
答案
(1) 集合 $ A $ 包含所有形式为 $ (r_1, r_2, \cdots, r_n, r, r, \cdots) $ 的序列，其中 $ r, r_i \in \mathbb{Q} $，$ n $ 为正整数。对于每个固定的 $ n $，该集合与 $ \mathbb{Q}^{n+1} $ 等势，而 $ \mathbb{Q}^{n+1} $ 是可数集（基数为 $ \aleph_0 $）。由于 $ A $ 是可数个可数集的并集，其基数为 $ \aleph_0 $。
(2) 集合 $ B $ 包含所有由 0 和 1 组成的无限序列，与 $ \{0, 1\}^\mathbb{N} $ 等势，基数为 $ 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c} $（连续统的势）。
(3) 集合 $ C $ 包含所有由有理数组成的无限序列，与 $ \mathbb{Q}^\mathbb{N} $ 等势，基数为 $ \aleph_0^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c} $。
答案：
(1) $ \boxed{\aleph_0} $
(2) $ \boxed{\mathfrak{c}} $（或 $ 2^{\aleph_0} $）
(3) $ \boxed{\mathfrak{c}} $（或 $ 2^{\aleph_0} $）
（注：$ \mathfrak{c} $ 表示连续统的势，等于实数集的基数。）