题目
1.指出下面微分方程的阶数,并回答方程是否线性的:-|||-(1) dfrac (dy)(dx)=4(x)^2-y;-|||-(2) dfrac ({d)^2y}(d{x)^2}-((dfrac {dy)(dx))}^2+12xy=0;-|||-(3) ((dfrac {dy)(dx))}^2+xdfrac (dy)(dx)-3(y)^2=0;-|||-(4) dfrac ({d)^2y}(d{x)^2}-5dfrac (dy)(dx)+3xy=sin x;-|||-(5) dfrac (dy)(dx)+cos y+2x=0;-|||-(6) sin (dfrac ({d)^2y}(d{x)^2})+e'=x
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定微分方程的阶数
微分方程的阶数由方程中未知函数的最高阶导数决定。例如，如果方程中最高阶导数是二阶导数，则方程是二阶微分方程。
步骤 2：判断微分方程是否线性
线性微分方程是指方程中未知函数及其导数的次数均为一次，且未知函数及其导数的系数仅是自变量的函数或常数。如果方程中未知函数或其导数的次数大于一次，或者系数不是自变量的函数或常数，则方程是非线性的。
步骤 3：分析每个方程
(1) $\dfrac {dy}{dx}=4{x}^{2}-y$;
(2) $\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}}-{(\dfrac {dy}{dx})}^{2}+12xy=0$;
(3) ${(\dfrac {dy}{dx})}^{2}+x\dfrac {dy}{dx}-3{y}^{2}=0$;
(4) $x\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}}-5\dfrac {dy}{dx}+3xy=\sin x$;
(5) $\dfrac {dy}{dx}+\cos y+2x=0$;
(6) $\sin (\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}})+{e}^{y}=x$;
微分方程的阶数由方程中未知函数的最高阶导数决定。例如，如果方程中最高阶导数是二阶导数，则方程是二阶微分方程。
步骤 2：判断微分方程是否线性
线性微分方程是指方程中未知函数及其导数的次数均为一次，且未知函数及其导数的系数仅是自变量的函数或常数。如果方程中未知函数或其导数的次数大于一次，或者系数不是自变量的函数或常数，则方程是非线性的。
步骤 3：分析每个方程
(1) $\dfrac {dy}{dx}=4{x}^{2}-y$;
(2) $\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}}-{(\dfrac {dy}{dx})}^{2}+12xy=0$;
(3) ${(\dfrac {dy}{dx})}^{2}+x\dfrac {dy}{dx}-3{y}^{2}=0$;
(4) $x\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}}-5\dfrac {dy}{dx}+3xy=\sin x$;
(5) $\dfrac {dy}{dx}+\cos y+2x=0$;
(6) $\sin (\dfrac {{d}^{2}y}{d{x}^{2}})+{e}^{y}=x$;