证明下列事件的运算公式：(1) =ABcup Aoverline (B) __(1) =ABcup Aoverline (B) __

考查要点：本题主要考查事件运算中的分配律、结合律以及补集的性质，需要灵活运用这些基本性质进行代数变形。

解题核心思路：

1. 第（1）题：通过提取公因子$A$，结合补集的性质$B \cup \overline{B} = \Omega$（必然事件），将右边表达式化简为左边。
2. 第（2）题：利用第（1）题的结论，将$B$分解为$BA \cup \overline{A}B$，再通过结合律和分配律逐步化简左边表达式，最终与右边匹配。

破题关键点：

• 提取公因子：观察表达式中的公共部分（如$A$），利用分配律提取。
• 补集性质：$B \cup \overline{B} = \Omega$，简化表达式。
• 分解事件：将事件拆分为与某事件及其补集的组合，便于应用已知结论。

第（1）题

目标：证明$A = AB \cup A\overline{B}$。

提取公因子$A$

右边表达式为：
$AB \cup A\overline{B} = A(B \cup \overline{B})$

应用补集性质

由于$B \cup \overline{B} = \Omega$（必然事件），代入得：
$A(B \cup \overline{B}) = A\Omega = A$

结论

右边化简后等于左边，即证。

第（2）题

目标：证明$A \cup B = A \cup \overline{A}B$。

利用第（1）题结论

由第（1）题，$B = BA \cup \overline{A}B$，代入左边表达式：
$A \cup B = A \cup (BA \cup \overline{A}B)$

应用结合律

将括号展开：
$A \cup BA \cup \overline{A}B = (A \cup BA) \cup \overline{A}B$

化简$A \cup BA$

由于$A \cup BA = A$（吸收律），代入得：
$A \cup \overline{A}B$

结论

左边化简后等于右边，即证。